Ecuaciones

Ecuaciones diofánticas
Fecha de primera versión: 07-10-2000
Fecha de última actualización: [pic]
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Las  ecuaciones diofánticas deben su nombre  a Diofanto que fue quien las estudió primero.
Una ecuación diofántica es una ecuación cuyas soluciones son números naturales.
Ecuaciones de la forma ax + by = c
Para que ésta ecuación tenga solución c tiene que ser divisible por el máximo comúndivisor de a y b.
En este caso la ecuación tiene un número finito de soluciones o ninguna.
Resolución:
ax = c - by
Dando valores a y, desde y = 0 hasta y = a - 1, encontraremos un único valor que sea múltiplo de a. 
Sea β el valor de y que hace c - by múltiplo de a. Entonces conoceremos el valor de x que satisface la ecuación. Sea α ese valor.
Para obtener las demás soluciones hacemos x = α- bt e y = β +at y damos a valores a t = 0,1,2... siempre que se pueda hacer la sustracción.
Sea la ecuación 3x + 5y = 52
3x = 52 - 5y.
Para y = 0 queda 3x = 52
Para y = 1 queda 3x = 47
Para y = 2 queda 3x = 42
El único valor de y que hace x entero es y = 2. Entonces β = 2 y  α = 14.
x = 14 - 5t. Para t = 0, x = 14. Para t = 1, x = 9. Para t = 2, x = 4. 
y = 2 + 3t. Para t =0, y = 2. Parat = 1, y = 5. Para t = 2, x = 8
Ecuaciones de la forma ax - by = c
Para que ésta ecuación tenga solución c tiene que ser divisible por el máximo común divisor de a y b.
En este caso la ecuación tiene un número infinito de soluciones.
Resolución:
ax = c + by
Dando valores a y, desde y = 0 hasta y = a - 1, encontraremos un único valor que sea múltiplo de a. 
Sea β el valor de y que hace c +by múltiplo de a. Entonces conoceremos el valor de x que satisface la ecuación. Sea α ese valor.
Para obtener las demás soluciones hacemos x = α + bt e y = β +at y damos a valores a t = 0,1,2... siempre que se pueda hacer la sustracción.
Ecuaciones de la forma  x2 - y2 = a
Como x2 - y2 = (x+y).(x-y). La ecuación queda (x-y).(x+y) = a.
Ahora hacemos a = bc.
b y c deben ser ambos pares o ambosimpares, pues la suma de dos números y su diferencia son ambas pares o ambas impares. Entonces 
x - y = b
x + y = c
Resolviendo el sistema se obtiene:
x = (b - c) / 2
y = (b + c) / 2
Ecuaciones de la forma x2 + y2 = z2
Supondremos x, y, z primos entre sí ya que si x, y ,z es solución de la ecuación también lo es a.x, a.y, a.z para cualquier a .De ahí se deduce que encontrada una soluciónhay infinitas.
Suponemos x impar, lo podemos hacer ya que al ser x, y, z primos entre sí no pueden haber dos pares.
Transformamos la ecuación en z2 - y2 = x2
Como z2 - y2 =  (z - y)(z + y).
(z - y)(z + y) = x2    
El problema se reduce a descomponer x2 como producto de dos números primos entre sí. Sean u y v estos números.
(z - y)(z + y) = uv obtenemos y = (u2 - v2)/2, z = (u2 + v2)/2
Son dossoluciones enteras puesto que la suma y la diferencia de dos impares es un número par.
Ecuaciones de la forma x = dy2 + 1
Esta ecuación, con d un número natural mayor que cero, se llama ecuación de John Pell, aunque fue Lagrange quien resolvió la ecuación.
Lagrange demostró que la enésima solución (xn, yn), se puede expresar en términos de la primera de esta forma:
xn + yn√d = (x1 + y1√d)n   Resolver la ecuación de Pell significa encontrar x1 e y1. 
Hay un método bastante rápido que consiste en expresar la raíz como una fracción continua.
Sea la ecuación x2 = 14y2 + 1 
√14 ’ 3 + 1/(1 + (1/(2 +1)) = 15/4; x1 = 15, y1 = 4
(15 + 4√14)2€ ’ 449 + 120√14 ; x2 = 449, y2 = 120
(15 + 4√14)3€ ’ 13455 + 3596√14 ; x3 = 13455, y3 = 3596
En esta página puedes resolver las ecuaciones dePell. http://archives.math.utk.edu/articles/atuyl/confrac/pell.html
Ecuaciones de la forma y2 = x3 + a
Esta ecuación con a, número natural, se llama ecuación de Louis Mordell. 
Con a cualquier número natural.
Su representación gráfica es una curva elíptica en el plano Real. Para cada a posee un número finito de soluciones enteras.
Ecuaciones de la forma xn + yn = zn
La ecuación xn + yn = zn no...