ecuaciones

CAP´
ITULO 1

Clasificaci´n de las ecuaciones diferenciales
o
Una ecuaci´n diferencial ordinaria es una relaci´n en la cual intero
o
vienen una funci´n de una variable y una o varias de sus derivadas. En
o
general, esta funci´n es desconocida y se llama inc´gnita. Por ejemplo,
o
o
y = x2

(1.0.1)

y +y =0

(1.0.2)

3

d y dy
2
+
= ey + sen t
(1.0.3)
3
dt
dt
sonecuaciones diferenciales ordinarias.
Tenemos, por otro lado, el concepto de ecuaci´n diferencial parcial
o
en el cual se relacionan las derivadas parciales de una funci´n desconoo
cida de dos o m´s variables independientes. Por ejemplo,
a
∂2u ∂2u
+
=0
∂x2 ∂y 2

(1.0.4)

es una ecuaci´n diferencial parcial.
o
El orden de una ecuaci´n diferencial es el orden de la derivada m´s
o
a
altade la inc´gnita. As´ la ecuaci´n (1.0.1) es de primer orden, (1.0.2)
o
ı,
o
y (1.0.4) son de segundo orden y (1.0.3) es de tercer orden.
Una ecuaci´n de la forma
o
dn y
dn−1 y
dy
+ a1 (x) n−1 + · · · + an−1 (x) + an (x)y = b(x)
n
dx
dx
dx
es una ecuaci´n diferencial lineal de orden n. Observe que la variable
o
y y sus derivadas no aparecen afectadas mas que por el producto de
lasfunciones ai (x). Por ejemplo, la ecuaci´n
o
a0 (x)

d2 y
+ y2 = 0
dx2
no es lineal porque la variable y aparce elevada al cuadrado.
Considere la ecuaci´n diferencial de orden n dada por la igualdad
o
x

F x, y,

dy
dn y
,..., n
dx
dx
1

= 0,

(1.0.5)

2

´
1. CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

donde n es una funci´n de valores reales en n + 2 argumentos.Una
o
funci´n y = f (x) definida en un intervalo I es una soluci´n de una
o
o
ecuaci´n diferencial (1.0.5) en I si f junto con sus derivadas satisface
o
F x, f (x), f (x), . . . , f (n) (n) = 0.
Por ejemplo, la funci´n y = sen t es un soluci´n de la ecuaci´n (1.0.2)
o
o
o
porque
d2
(sen t) + sen t = − sen t + sen t = 0
dt2
En algunas ocasiones, una soluci´n de una ecuaci´ndiferencial se preo
o
sentar´ de manera impl´
a
ıcita, es decir, en la forma
g(x, y) = 0.

(1.0.6)

La relaci´n (1.0.6) se llama soluci´n impl´
o
o
ıcita si de ella se puede obtener, “despejando y”, al menos una soluci´n expl´
o
ıcita y = f (x) de la
ecuaci´n diferencial (1.0.5). En otras palabras, si podemos hallar una
o
funci´n y = f (x) tal que g(x, f (x)) = 0 y
o
F x, f (x), f (x),. . . , f (n) (n) = 0 para toda x ∈ I.
Por ejemplo,
x2 + y 2 − 1 = 0, y = 0,
(1.0.7)
es una soluci´n impl´
o
ıcita de la ecuaci´n diferencial
o
x
dy
=−
(1.0.8)
dx
y
porque de ella podemos obtener dos funciones reales f1 y f2 dadas por
√
√
f1 = 1 − x2 y f2 = − 1 − x2 ,
donde x ∈ (−1, 1), y estas funciones son soluciones expl´
ıcitas de la
ecuaci´n (1.0.8). En efecto, medianteuna sustituci´n se puede verificar
o
o
que f1 y f2 son soluciones de la ecuaci´n (1.0.8). Tambi´n podemos
o
e
derivar impl´
ıcitamente (1.0.7) y obtenemos
dy
dy
x
= 0 o bien
=− .
dx
dx
y
Por otro lado, observe que derivando impl´
ıcitamente vemos que la
relaci´n x2 + y 2 + 1 = 0 satisface formalmente la ecuaci´n difereno
o
cial (1.0.8). Sin embargo, en este caso no se defineninguna soluci´n
o
expl´
ıcita de ella.
Regresemos al ejemplo (1.0.1). Sabemos del c´lculo que todas las
a
soluciones de esta ecuaci´n diferencial est´n dadas por
o
a
2x + 2y

y = 1 x3 + C
3

(1.0.9)

´
1. CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

3

donde C es una constante real cualquiera. En este caso decimos que la
expresi´n (1.0.9) representa la soluci´n completa de laecuaci´n (1.0.1).
o
o
o
Esto significa que cualquier soluci´n a la ecuaci´n (1.0.1) est´ dada por
o
o
a
(1.0.9) tomando una buena elecci´n de la constante C. A la constante
o
C se le da el nombre de constante arbitraria o par´metro. Por ello, a
a
(1.0.9) se le llama familia param´trica de funciones.
e
Ser´ deseable que toda ecuaci´n diferencial de primer orden tenga
ıa
o
como como...