Ecuación cúbica

RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN CÚBICA
En los albores de lo que se suele llamar como período moderno de la matemática,
en el siglo XVI, el matemático italiano Cardano (1501-1576) en su Ars Magna divulgólas soluciones de la ecuación cúbica e incluso de la cuártica. Tal avance tan
sorprendente e inesperado produjo un fuerte impacto en el mundo de los algebristas. Sin
embargo, no fue Cardano como élmismo reconoce, el descubridor original de esos
logros, sino que obtuvo de Tartaglia (1500-1557) la sugerencia para resolver la cúbica,
mientras que la solución de la cuártica fue descubierta porprimera vez por el también
italiano Ferrari (1522-1565), que había sido secretario de Cardano.
Veamos cómo procedía Cardano para resolver, por ejemplo, la ecuación cúbica:
x + 3 x 2 + 27 x − 65 = 0.En primer lugar realizaba el cambio x = z − 1, con objeto de
eliminar el término de segundo grado. En efecto:
( z − 1) 3 + 3.( z − 1) 2 + 27.( z − 1) − 65 = 0 ⇒
z 3 − 3 z 2 + 3 z − 1 + 3 z 2 − 6 z+ 3 + 27 z − 27 − 65 = 0 ⇒
z 3 + 24 z = 90 ,
que es una ecuación del tipo z 3 + pz = q con p y q números positivos. Ahora sustituía
z por u-v, y suponía relacionados u y v de manera que suproducto fuese la tercera
parte del coeficiente de z. Es decir, en este caso: u.v=8. Por lo tanto:
(u − v) 3 + 24.(u − v) = 90 ⇒ u 3 − 3u 2 v + 3uv 2 − v 3 + 24u − 24v = 90
y
Como
u.v = 8 ⇒ u 3 − 24u +24v − v 3 + 24u − 24v = 90 ⇒
u 3 − v 3 = 90 ,
3

3

512
⎛8⎞
eliminando v quedaba: u − ⎜ ⎟ = 90 ⇒ u 3 − 3 = 90 ⇒ u 6 − 90u 3 − 512 = 0 ,
u
⎝u⎠
3
que es una ecuación de segundo grado en u ,cuya solución positiva viene dada por:
3

u 3 = 45 + 45 2 − ( −512) = 45 + 2025 + 512 = 45 + 2537

Y como u 3 − v 3 = 90 ⇒ 45 + 2537 − v 3 = 90 ⇒

v 3 = −45 + 2537

Por lo tanto, x = z − 1 =u − v − 1 = 3 45 + 2537 − 3 − 45 + 2537 − 1.
Supongamos ahora la ecuación x 3 + 3 x 2 − 27 x − 65 = 0. Realizando el mismo
cambio anterior x = z − 1, se obtenía z 3 = 30 z + 36, ecuación del tipo...