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M. C. David Vázquez Santa Ana

1. Teoría pitagórica de la proporción.
1.1 Introducción.
En la tradición matemática pitagórica y, posteriormente, en la tradición euclidiana, era común utilizar la Teoría de la proporción como método fundamental para sus exposiciones y demostraciones matemáticas. De esta teoría, así como de las recopilaciones e invenciones matemáticas que llegaron a tenerse enla antigua Grecia, se tiene la exposición lógico-deductiva que legó a occidente el matemático griego Euclides (325–265 a. c.) en su obra llamada los Elementos. 1 En particular, en el Libro VII aparece la teoría pitagórica de la proporción, que es una teoría numérica y no, como se expone en el libro V, una teoría de la proporción acerca de las magnitudes elaborada por Eudoxio de Cnido (390–337 a.c.). 1. ¿Cuál crees que sean las diferencias entre número y magnitud? Explica brevemente. El Libro VII de los Elementos, el primero de los llamados libros aritméticos, es el cimiento de la teoría de la divisibilidad griega o clásica, además de exponer ahí, de manera precisa, la noción matemática de logos (en griego, λόγος), 2 cuya traducción al latín fue la de ratio y que actualmenteinterpretamos modernamente con el término razón, fracción o, en términos de las matemáticas modernas, como número racional. En notación moderna tenemos, entonces, que ejemplos de λόγος, razones o números racionales son los siguientes números:
1 0, , 1 1 , 2 7 8 1 , 2 , - , - 56 , etcétera. 5 9 2

Cabe observar que incluimos como razones o fracciones a números (racionales) negativos, objetos que no estabanincluidos dentro del término λόγος pues, como ya hemos comentado, a diferencia de los chinos, los griegos no sabían (¿o aceptaban?) las cantidades negativas. De acuerdo con el matemático alemán Richard Courant (1888–1972), 3 los números racionales son aquellos que se obtienen de los números enteros al realizar operaciones racionales con ellos, es decir, al sumarlos, restarlos, multiplicarlos ydividirlos (¡entre números diferentes a 0!). 2. ¿Cuál es el valor (significado) de expresiones tales como
1 0

,

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0

, etc.? Explica brevemente.

Puedes leer una interpretación moderna de los Elementos en el sitio Euclides: www.euclides.org. En el diccionario de la Real Academia Española, aparecen los siguientes significados de logos (λόγος): 1. m. Fil. discurso que da razón de lascosas; 2. m. razón, principio racional del universo; 3. m. en la teología cristiana, Verbo o Hijo de Dios. Sin embargo, de acuerdo con el pensador alemán Martin Heidegger, la palabra griega λόγος no tiene traducción en ninguna lengua moderna. [Puedes leer la caracterización de éste término en el libro Ser y tiempo de Heidegger del que, por cierto, puedes descargar una excelente traducción alcastellano desde http://www.philosophia.cl/]. 3 Cf. [Courant, R. Differential and Integral Calculus Vol. 1]
2

1

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Teoría pitagórica de la proporción.

3. Además de las operaciones racionales, ¿qué otras operaciones aritméticas o algebraicas conoces? Para acercarnos a la Teoría pitagórica de la proporción, será conveniente saber qué tenían los pitagóricos por proporción, noción que nodifiere mucho de la nuestra, pues proviene de ella. La definición de proporcionalidad numérica la da Euclides en los siguientes términos: 4
Definición 20. Se dice que cuatro números son proporcionales cuando el primero es el mismo múltiplo, parte alícuota o fracción, del segundo, que el tercero del cuarto.

Podemos traducir (modernamente) la definición 20 en los siguientes términos: proporciónes la igualdad de dos razones (λόγος). Ejemplo 1. Proporción entre 18 , 6 , 9 y 3 . La razón de 18 a 6, la expresamos como:

18 6
o, simplemente como 3 , indicando con ello que 18 contiene a 6 tres veces. La razón de 9 a 3 también es 3 , por lo que, según la noción de proporción, los cuatro números 18 , 6 , 9 y 3 , están en proporción: 18 9 = (1) 6 3 que leemos: " 18 es a 6 , como 9 es a 3 "....
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