Educacion matematica

Escuela logicista
Tesis:
La tesis logicista afirma que los conceptos matemáticos se pueden definir a partir de los conceptos lógicos, y por ello la matemática puede ser considerada una parte de la lógica.
Exponentes:

La tesis logicista no surgió en el siglo XIX, ya Leibniz en 1666 había expresado opiniones de tipo logicista, y de hecho es posible encontrar antecedentes de esta corrientedesde Aristóteles. Sin embargo es G. Frege, con sus trabajos titulados Begriffschrift (1879) y Die Grundlagen der Arithmetik (1884), el primero que comienza a explicar la matemática a partir de la lógica.
Bases de sus fundamentos marematicos
La postura adoptada por esta escuela es que considera a la lógica más importante que las
matemáticas, y concluye que la matemática es una rama de lalógica.
Consideran que los conceptos de la matemática pueden derivarse de los conceptos lógicos a través
de unas determinadas definiciones y que los teoremas matemáticos pueden derivarse de los axiomas
lógicos.
Así pues, la postura de esta escuela es que todas las matemáticas se derivan de la lógica y como
las leyes de la lógica eran aceptadas como verdades, entonces las matemáticas deberíanser verdades.
Se deduce que como la verdad es consistente, entonces las matemáticas también lo son.
El primero en tratar este pensamiento del logicismo fue Leibniz, aunque con más profundidad fue
estudiado por Peano y Russell como su mayor representante.
La explicación que dan a la aparición de las paradojas en las matemáticas, es negar que se deban a
las relaciones existentes entrelas entidades propias de las matemáticas, y culpan la aparición de las
paradojas a nuestro modo de hablar de dichas relaciones.
Por tanto para evitar estas paradojas es básico la construcción de un lenguaje determinado con el
que no se llegue a decir nada paradójico. Russell para resolver el problema de las paradojas propuso la
teoría de los tipos, que fue aceptada por Gödel.Exponentes y Aportes:
La obra de Frege no recibió inicialmente mucha atención, hasta que B. Russell, a principios de nuestro siglo, puso de relieve el verdadero significado de dichas obras. B. Russell y A. N. Whitehead, inspirados en la obra de Frege, publicaron los Principia Mathematica que se considera la obra fundamental de la escuela logicista.
Frege y Russell buscaron con el recurso de la lógica,hacer depender las matemáticas, de principios
lógicos, y de la naciente teoría de conjuntos. Indudablemente conjuntos como, U y W, mencionados
arriba, no son buenos candidatos para incluirlos en una teoría axiomática de conjuntos, en razón a
las paradojas que generan. Sin embargo, si nuestra teoría se limita a conjuntos no tan abstrusos
como estos, nuestro programa puede funcionar. Enefecto, Russell introduce la teoría de tipos con el
propósito de afianzarse en ella a fin de desarrollar una teoría de conjuntos que no origine problemas
estructurales. La teoría de tipos busca clasificar los conceptos según el tipo; específicamente, los
números, por ejemplo, que son elementos básicos en las matemáticas, son de primer tipo. Los
enunciados relativos a números son de tipo 2. Siel enunciado afirma algo sobre colecciones ya será
de tipo 3 y así sucesivamente. En los Principia, Russell acepta enunciados de tipo n solamente
relacionados con cosas de tipo estrictamente menor que n.
Según algunos matemáticos, entre ellos Henri Poincaré (1854-1912) y Bertrand Russell, una de las
características de las paradojas en la teoría de conjuntos es que en cada una de ellasaparecen
definiciones circulares en el sentido de que la definición del conjunto se expresa en términos de sus
elementos y éstos en términos del conjunto. Esta circularidad o círculo vicioso está en el centro de
las paradojas. Como ya mencionábamos a propósito de la paradoja de Russell, nuestras teorías
matemáticas no deben albergar paradojas, por cuanto las contradicciones dentro de ellas...