Ejemplo de pseudocodigo
Páginas: 9 (2115 palabras)
Publicado: 16 de mayo de 2011
DETERMINACION DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA
En el tema anterior vimos que el movimiento de una partícula se conoce cuando se sabe su posición para cualquier valor del tiempo t; pero en la práctica, muy raramente se define un movimiento con una relación entre x y t . Con mayor frecuencia, las condiciones del movimiento se especificarán por el tipo de aceleración que posee la partícula.Por ejemplo, un cuerpo en caida libre tendrá una aceleración constante hacia abajo e igual a 9.81 m/s[pic]0 32.2 ft/s[pic]; una masa unida a un resorte que ha sido estirado tendrá una aceleración proporcional a la elongación instantánea del resorte, medida desde la possición de equilibrio, etc. En general, la aceleración de la partícula puede expresarse como una función de una o más de lasvariables x,v y t . Para determinar la coordenada de posición x en función de t, será necesario entonces realizar dos integraciones sucesivas.
Consideremos las siguientes clases comunes de movimiento:
a) a = f(t). La aceleración es una función conocida de t .
Despejando dv de (2) y sustituyendo f(t) en lugar de a , tenemos :
[pic]
dv = a dt
dv = f(t) dt
Integrando ámbos miembrosobtenemos la ecuación :
[pic]
Que define v en función de t . Para definir unívocamente el movimiento de la partícula es necesario especificar las condiciones iniciales del movimiento, es decir, el valor [pic] de la velocidad y el valor [pic] de la coordenada de posición en t = 0 . Sustituyendo las integrales indefinidas por integrales definidas con límites inferiores correspondientes a lascondiciones iniciales t = 0 y [pic]= 0 y los límites superiores correspondientes a t = t y v = v , tenemos :
[pic]
[pic]
Que nos dá v en función de t
v = f(t)
Ahora:
[pic]
dx = f(t) dt
Entonces integramos ámbos miembros: el izquierdo con respecto a x desde x =[pic] hasta x = x, y el de la derecha con respecto a t desde t = 0 hasta t = t . La coordenada de posición seobtiene así en función de t; el movimiento está completamente determinado.
[pic]
x = f(t)
b) a = f(x). La aceleración es una función conocida de x .
Recuerde que :
[pic]
Entonces:
a dx= v dv
f(x) dx = vdv
v dv = f(x) dx
Como cada miembro contiene una sola variable, podemos integrar la ecuación. Si de nuevo [pic] y [pic] representan, respectivamente, los valoresiniciales de la velocidad y de la coordenada de posición, obtenemos:
[pic]
[pic]
Que expresa a v en términos de x.
Despejando dt de v = dx/dt, tenemos :
[pic]
y sustituyendo la expresión que acabamos de obtener para v . Entonces podemos integrar ambos miembros y obtener la relación deseada entre x y t .
c) a = f(v). La aceleración es una función dada de v.
Es posiblesustituir f(v) por a en a = dv/dt y a = v dv/dx para obtener cualquiera de las relaciones siguientes:
[pic] [pic]
[pic] [pic]
La integración de la primera ecuación producirá una relación entre v y t; la integración de la segunda ecuación originara una relación entre v y t. Cualquiera de estas relaciones puedeutilizarse junto con la ecuación [pic] para obtener la relación entre x y t que caracteriza el movimiento de la partícula.
EJEMPLO 1:
La aceleración de una partícula es directamente proporcional al tiempo t. En t = 0, la velocidad de la partícula es v = 16 in/s. Sabiendo que v = 15 in/s y x = 20 in cuando t = 1 s, determine la velocidad, la posición y la distancia total recorridacuando t = 7 s.
Datos :
a = kt .
En t = 0 , v = 16 in/s .
v = 15 in/s , x = 20 in en t = 1 s
Solución :
[pic]
dv = kt dt
[pic]
[pic]
v-16 = [pic] (1)
Como la condición es : v = 15 in/s cuando t = 1, entonces sustituímos estos valores en (1) para obtener k.
15 -16 =[pic]
k = -2 (2)
Sustituímos (2) en (1) :
v -16 = [pic]
v-16 = -t[pic]...
En el tema anterior vimos que el movimiento de una partícula se conoce cuando se sabe su posición para cualquier valor del tiempo t; pero en la práctica, muy raramente se define un movimiento con una relación entre x y t . Con mayor frecuencia, las condiciones del movimiento se especificarán por el tipo de aceleración que posee la partícula.Por ejemplo, un cuerpo en caida libre tendrá una aceleración constante hacia abajo e igual a 9.81 m/s[pic]0 32.2 ft/s[pic]; una masa unida a un resorte que ha sido estirado tendrá una aceleración proporcional a la elongación instantánea del resorte, medida desde la possición de equilibrio, etc. En general, la aceleración de la partícula puede expresarse como una función de una o más de lasvariables x,v y t . Para determinar la coordenada de posición x en función de t, será necesario entonces realizar dos integraciones sucesivas.
Consideremos las siguientes clases comunes de movimiento:
a) a = f(t). La aceleración es una función conocida de t .
Despejando dv de (2) y sustituyendo f(t) en lugar de a , tenemos :
[pic]
dv = a dt
dv = f(t) dt
Integrando ámbos miembrosobtenemos la ecuación :
[pic]
Que define v en función de t . Para definir unívocamente el movimiento de la partícula es necesario especificar las condiciones iniciales del movimiento, es decir, el valor [pic] de la velocidad y el valor [pic] de la coordenada de posición en t = 0 . Sustituyendo las integrales indefinidas por integrales definidas con límites inferiores correspondientes a lascondiciones iniciales t = 0 y [pic]= 0 y los límites superiores correspondientes a t = t y v = v , tenemos :
[pic]
[pic]
Que nos dá v en función de t
v = f(t)
Ahora:
[pic]
dx = f(t) dt
Entonces integramos ámbos miembros: el izquierdo con respecto a x desde x =[pic] hasta x = x, y el de la derecha con respecto a t desde t = 0 hasta t = t . La coordenada de posición seobtiene así en función de t; el movimiento está completamente determinado.
[pic]
x = f(t)
b) a = f(x). La aceleración es una función conocida de x .
Recuerde que :
[pic]
Entonces:
a dx= v dv
f(x) dx = vdv
v dv = f(x) dx
Como cada miembro contiene una sola variable, podemos integrar la ecuación. Si de nuevo [pic] y [pic] representan, respectivamente, los valoresiniciales de la velocidad y de la coordenada de posición, obtenemos:
[pic]
[pic]
Que expresa a v en términos de x.
Despejando dt de v = dx/dt, tenemos :
[pic]
y sustituyendo la expresión que acabamos de obtener para v . Entonces podemos integrar ambos miembros y obtener la relación deseada entre x y t .
c) a = f(v). La aceleración es una función dada de v.
Es posiblesustituir f(v) por a en a = dv/dt y a = v dv/dx para obtener cualquiera de las relaciones siguientes:
[pic] [pic]
[pic] [pic]
La integración de la primera ecuación producirá una relación entre v y t; la integración de la segunda ecuación originara una relación entre v y t. Cualquiera de estas relaciones puedeutilizarse junto con la ecuación [pic] para obtener la relación entre x y t que caracteriza el movimiento de la partícula.
EJEMPLO 1:
La aceleración de una partícula es directamente proporcional al tiempo t. En t = 0, la velocidad de la partícula es v = 16 in/s. Sabiendo que v = 15 in/s y x = 20 in cuando t = 1 s, determine la velocidad, la posición y la distancia total recorridacuando t = 7 s.
Datos :
a = kt .
En t = 0 , v = 16 in/s .
v = 15 in/s , x = 20 in en t = 1 s
Solución :
[pic]
dv = kt dt
[pic]
[pic]
v-16 = [pic] (1)
Como la condición es : v = 15 in/s cuando t = 1, entonces sustituímos estos valores en (1) para obtener k.
15 -16 =[pic]
k = -2 (2)
Sustituímos (2) en (1) :
v -16 = [pic]
v-16 = -t[pic]...
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