Ejemplos clasicos de derivadas parciales

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CAPITULO 1

LOS EJEMPLOS CLASICOS DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES DE LA FISICA MATEMATICA

Introduccion
Este capitulo pretende motivar el privilegio que se concede a determinadas ecuaciones en derivadas parciales al estudiarlas de manera preferente. Una buena razon para estudiar estos tipos deecuaciones en derivadas parciales es o que, por una parte, son modelos muy aproximados de fen´menos f´ o ısicos b´sicos y por a otra, que son el inicio de la teor´ de Ecuaciones en Derivadas Parciales, inicio com´n ıa u con otras muchas disciplinas de la F´ ısica y de las Matem´ticas. a La mayor´ del contenido de este cap´ ıa ıtulo fue generado a fines del siglo XVIII y comienzos del XIX y llevaasociados los nombres de los matem´ticos m´s eminentes a a de este periodo hist´rico. En esta ´poca puede apreciarse que las fronteras de las o e Matem´ticas y de la F´ a ısica Matem´tica eran a´n m´s difusas que en la actualidad y a u a los progresos en un ´rea lo eran en la otra. a Ecuaciones, m´todos y teoremas llevan los nombres de sus descubridores: Euler, e Bernouilli, Fourier, Gauss, Riemann,Green, Laplace, Poisson, Dirichlet y Lagrange, entre otros, son los protagonistas de esta Historia.
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Recomendamos la lectura de los cap´ ıtulos dedicados a Ecuaciones en Derivadas Parciales del libro M. Kline, ”El Pensamiento Matem´tico desde los tiempos antiguos a a los modernos” Alianza Editorial, 1992, para que el lector ampl´ su perspectiva ıe hist´rica. o

La lectura delpresente cap´ ıtulo debe servir para observar el proceso de modelaci´n o de fen´menos f´ o ısicos en ejemplos cl´sicos y no excesivamente complicados, mediante a ecuaciones. Por su importancia el estudio de estos ejemplos ha motivado la construcci´n de teor´ matem´ticas enteras. o ıas a Comenzaremos por elaborar la forma de medir ”variaciones de magnitudes” en varias dimensiones: teorema de Gauss. Unavez hecho este estudio se introducir´n los modelos que dan lugar a las tres a ecuaciones siguientes: (1) ut = uxx , ecuaci´n del calor, o (2) utt = uxx , ecuaci´n de ondas, o (3) uxx + uyy = 0, ecuaci´n de Laplace. o A estos ejemplos y a variantes de ellos estar´ dirigida nuestra atenci´n en adelante. a o Puede parecer poco ambicioso este proyecto, dedicar un curso a unos pocos ejemplos. Pero hayque decir que el estudio profundo de estos tres ejemplos tan sencillos en apariencia, ha dado las ideas suficientes para poder abordar problemas mucho m´s a generales y complicados. Muchas ideas est´n en estos ejemplos y conocerlas bien a supone la posibilidad de explorar otros modelos m´s complicados de forma razonablea mente asequible. En esta direcci´n invitamos al lector a acompa˜arnos en esteestudio y a observar o n tambi´n lo poderoso que resulta el lenguaje matem´tico. Una misma ecuaci´n puede e a o describir realidades f´ ısicas diversas como se ver´ en las siguientes secciones. a

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1.1.- La divergencia. Una manera de medir variaciones de magnitudes.
Se trata en esta secci´n de estudiar las tasas de cambio de magnitudes en m´s de o a una dimensi´n, es decir, de buscar unsustituto razonable de la derivada, que es el o concepto esencial para estudiar variaciones de magnitudes unidimensionales. Hay muchas posibilidades a priori de encontrar esta sustituci´n de la derivada, o pero veremos las que la F´ ısica Matem´tica ha tenido en cuenta por ser m´s naturales a a y por tanto m´s utiles. a ´ Para precisar las ideas consideremos el campo vectorial en R3 U (x, y, z) =u(x, y, z)e1 + v(x, y, z)e2 + w(x, y, z)e3 donde {e1 , e2 , e3 } es la base can´nica. o Para que resulte m´s intuitivo sup´ngase que U es, por ejemplo, el campo de a o velocidades de un fluido, es decir, en cada punto (x, y, z) ∈ R3 se tiene el vector velocidad U (x, y, z). Supongamos que Ω es una parte acotada de R3 . ¿C´mo cambia o el volumen de Ω al desplazarse por el flujo del fluido? ¿Hay giros...