Ejemplos de ejercicios de series de fourier

Tarea 1
Encontrar el periodo de las siguientes funciones si es que son periódicas:
1) ft=sennt, donde n es un número entero
Sabiendo que
ω0=2πf=2πT
ft=sennt, tomand n=1
ft=sent∴f=1→T=1, sies periódica
2) ft=sen22πt
sen2A=12-12cos2A
sen22πt=12-12cos4πt
Como se sabe que:
cosx+2kt=cosx, para cuanquier valor de k
cos4πt=cos4πt+T
Entonces se requiere que:
T=2kπ
Para que secumpla la igualdad tomamos k=1∴T=2π
Como:
2πf=2π∴f=2π2π=1, si es periódica
3) ft=sent+sent+2π
Para que sea periódica debe cumplirse que:
sent+sent+2π=sent+T+sent+T+2π
Donde:
2πf01=1∴f01=12π→No esperiódicaporque no es racional
2πf02=1∴f02=12π→No es periódicaporque no es racional
4) ft=senω1t+cosω2t
Sera periódica siempre y cuando ω1=ω2 o bien que ω1/ω2 sea un numero racional.
5)ft=sen2t
2πf=2
f=22π∴no es racional y no es periódica

Tarea 2
Encontrar a componente fundamental, los armónicos de cero y la componente de directa de:
a) ft=sen2t
Como
sen2A=12-12cos2AEntonces:
sen2t=12-12cos2t
La componente de directa es:
CD=12

b) ft=cos2t
Como
cos2A=12+12cos2A

Entonces:
cos2t=12+12cos2t
La componente de directa es:
CD=12

Tarea 3
Definiradecuadamente los coeficientes C0, Cn y θn, de manera que la serie de Fourier se pueda escribir como:
ft=C0+n=1∞Cnsennω0t+θn
Partiendo de:
ft=12a0+n=1∞an*cosnω0t+bn*sennω0t
Conociendo las propiedades deun triangulo rectángulo y basándonos en el para obtener la expresión requerida tenemos:

senθn=anCn=anan2+bn2
cosθn=bnCn=bnan2+bn2
Cn=an2+bn2
Tomando:
n=1∞an*cosnω0t+bn*sennω0t
Reescribiéndolaen función de los parámetros de un triangulo rectángulo:
n=1∞an2+bn2anan2+bn2*cosnω0t+bnan2+bn2*sennω0t
n=1∞Cnsenθn*cosnω0t+cosθn=bnCn*sennω0t
Utilizando formulas de adición tenemos:n=1∞Cnsennω0t+θn
Teniendo que:
C0=12a0
Reescribiendo la ecuación de partida pero con los términos obtenidos tenemos:
ft=C0+n=1∞Cnsennω0t+θn

Tarea 4
Dar un ejemplo de un par de funciones que sean...