Ejemplos de rentas financieras

Resumen de Rentas
Constante | Inmediata | Temporal | Pospagable | Valor Inicial | Anℸi=a∙1-1+i-ni |
| | | | Valor Final | Snℸi=1+in∙Anℸi=a∙1+in-1i |
| | | Prepagable | Valor Inicial | Anℸi=1+i∙Anℸi=a∙1+i∙1-1+i-ni |
| | | | Valor Final | Snℸi=1+i∙Snℸi=a∙1+i∙1+in-1i |
| | Perpetua | Pospagable | Valor Inicial | A∞ℸi=limn→∞Anℸi=a∙1i |
| | | Prepagable | Valor Inicial |A∞ℸi=limn→∞A∞ℸi=a∙1+ii |
| Diferida | Temporal | Pospagable | Valor Inicial | hAnℸi=1+i-h∙Anℸi=a∙1+i-h∙1-1+i-ni |
| | | | Valor Final | hSnℸi=1+ih+n∙hAnℸi=Snℸi=a∙1+in-1i |
| | | Prepagable | Valor Inicial | hAnℸi=1+i-h∙Anℸi=a∙1+i-h∙1+i∙1-1+i-ni |
| | | | Valor Final | hSnℸi=1+ih+n∙hAnℸi=Snℸi=a∙1+i∙1+in-1i |
| | Perpetua | Pospagable | Valor Inicial |hA∞ℸi=limn→∞hAnℸi=1+i-h∙A∞ℸi=a∙1+i-hi |
| | | Prepagable | Valor Inicial | hA∞ℸi=limn→∞hAnℸi=1+i-h∙A∞ℸi=a∙1+i-h∙1+ii |

Renta inmediata, constante, temporal y pospagable
Ejemplo 1:
Con el fin de que su hijo de 9 años pueda recibir, al alcanzar los 18 años, la suma de 100.000 euros el señor Torres se plantea cuál es la cantidad que debe destinar al final de cada cuatrimestre, así que abre una cuenta bancaria a un interés del 10%anual capitalizable trimestralmente.
Esquema gráfico
Anℸi
a a … … a
0 1 2 … … 27 (cuatrimestres)
9 años x 3 cuatrimestres = 27 cuatrimestres
i3=0,01869

Tenemos un tipo de interés del 10 % anual capitalizable trimestralmente,:
i4=J44=0,104=0,025
Por lo que el interés cuatrimestral equivalente será
1+i44=1+i33 → i3=1+i434-1=1+0,02534-1
i3=0,01869, es decir, un 1,869 %cuatrimestral

Para saber cuál es la cantidad que debe pagar no hay más que despejar “a”:
Snℸi=a∙1+in-1i
100.000=a∙1+0,0186927-10,01869
a=100.00035.2
a=2840,96 €

La cuota que debe ingresar cada mes debe ser de 2840,96 € para recibir dentro de 9 años 100.000€

Ejemplo 2:
Calcular el valor final de una renta anual de 1 €, durante 7 años, con un tipo de interés del 16% y comprobar qué relaciónexiste entre el valor inicial y el valor final de la renta:
Esquema gráfico
Anℸi Snℸi
1 1 1 1 1 1 1
0 1 2 3 4 5 6 7 (años)

El valor final de la renta será:
Snℸi=a∙1+in-1i
S7ℸ0,16=1∙1+0,167-10,16
S7ℸ0,16=11,41 €

La relación entre el valor inicial y el valor final viene dada por la siguiente formula:
Snℸi=Anℸi∙1+in

El valor actual será:
11,41=A7ℸ0,16∙1+0,167
A7ℸ0,16=11,411+0,167A7ℸ0,16=4,037

Hallamos el valor actual por la formula general y comprobamos que da el mismo resultado:
Anℸi=a∙1-1+i-ni
A7ℸ0,16=1∙1-1,16-70,16
A7ℸ0,16=4,037
Ejemplo 3:
Fermín abre una cuenta al 7% capitalizable bimensualmente con una cantidad de 7000 €. ¿Qué cantidad le abonará el banco al final de cada año durante 7 años? ¿Cuál es el valor final de la renta?
Esquema gráfico
AnℸiSnℸi
7000 a a a a a a a
0 1 2 3 4 5 6 7 (años)

Tenemos un tipo de interés del 7 % anual capitalizable bimensualmente:
i6=J66=0,076=0,01166
Por lo que el interés anual equivalente será
1+i66=1+i → i=1+i66-1=1+0,011666-1
i3=0,072, es decir, un 7,2 % anual

Para calcular el valor de “a” no hay más que despejar en el valor inicial de la renta:
Anℸi=a∙1-1+i-ni
7.000=a∙1-1,072-70,072a=7.0005,352
a=1.307,95 €
La cantidad que le abonará el banco anualmente será de 1307,95€

El valor final de la renta será:
Snℸi=a∙1+in-1i
S7ℸ0,072=1307,95∙1,0727-10,072
S7ℸ0,072=11.388,42 €
Renta inmediata, constante, temporal y prepagable
Ejemplo 1:
Una familia decidió comenzar el 1 de Enero de 1987 un plan de ahorro, para lo que destinó 200 euros mensuales a una cuenta bancariaremunerada al 6% anual con abono mensual de intereses en la misma cuenta. Durante los primeros años no se modificó la cantidad, pero en 1990 decidió incrementarla anualmente en 14,35 €. ¿Cuál es el valor inicial de esta renta?
Para calcular la cantidad ahorrada de esta familia desde el 01-01-87 al 30-09-97 vamos a considerar la renta en una suma de tres:
1º Tramo: Las cantidades...