Ejercicio De Cohete

CAP´ ITULO

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´ INTRODUCCION

Ejercicios resueltos
Problema 1. Desarrolle un modelo simplificado de un cohete como un cuerpo sujeto a la gravedad que se mueve en vertical por el empuje de una fuerza de propulsi´n vertical. o Soluci´n. Para modelar un cohete real consideraremos que su forma no es significativa y que o su masa est´ distribuida de forma uniforme, por lo que despreciaremos sumomento de inercia y a lo consideraremos como una masa puntual. Consideraremos que el movimiento es unidimensional en la direcci´n vertical. Despreciaremos tambi´n la resistencia del aire suponiendo que el n´mero o e u de Reynolds del aire es mucho mayor que 1 (Re 1). Los cohetes tienen m´ltiples etapas o u secciones de combustible que cuando se consumen son despegadas del propio cohete. Tampococonsideraremos este proceso y supondremos que tenemos una sola etapa. Los cohetes cambian de masa conforme consumen combustible y consideraremos dicho cambio de masa como una funci´n del tiempo m(t). Finalmente supondremos que la fuerza impulsora del cohete se puede o modelar por una funci´n dependiente del tiempo T (t). o Bajo estas hip´tesis la ley de Newton permite escribir las ecuaciones delcohete (ver o Figura 1.1) como m(t) que se puede escribir como d2 x = −m(t) g + T (t), dt2 T (t) d2 x = −g + , 2 dt m(t) dx (0) = v0 . dt (1.1)

junto con las condiciones iniciales x(0) = 0,

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Cap´ ıtulo 1. Introducci´n o

Figura 1.1. Representaci´n de un cohete simplificado en movimiento vertical. o

Aunque la soluci´n de la ecuaci´n (1.1) se puede obtener mediante cuadraturas de forma o osencilla, para obtener una soluci´n anal´ o ıtica m´s simple supondremos que la fuerza impulsora es a constante y despreciaremos el consumo de combustible (|m| ˙ es decir, T 2 g t x(t) = − t2 + v0 t + 2 2m = 1 2 T −g m t2 + v0 t. 1), con lo que la masa del cohete tambi´n ser´ constante. En ese caso el cohete seguir´ un movimiento parab´lico unidimensional, e a a o

Cuando t → ∞ esta soluci´n secomporta como o x(t) ∼ 1 2 T −g m t2 .

Esta soluci´n no es f´ o ısicamente factible debido a que tiende a infinito cuando T − m g > 0 y a menos infinito cuando T − m g < 0; en ambos casos, sabemos por nuestra experiencia que este no es el comportamiento real de un cohete. En este sentido, la hip´tesis matem´tica que hemos o a realizado para derivar esta soluci´n no es f´ o ısicamente correcta.Debemos por tanto considerar que m y T son funciones que no pueden permanecer constantes siempre. Como sabemos que el cohete deber´ alcanzar un valor m´ximo de altura habr´ que a˜adir la fricci´n del aire para a a a n o obtener soluciones v´lidas para tiempos grandes. a En cualquier caso, consideraremos un m´todo num´rico para resolver la ecuaci´n (1.1). Lo e e o

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3primero que podemos hacer es reducir esta ecuaci´n a un sistema de ecuaciones de primer orden, o
  dx   ≡y   dy T (t)   = − g, 

dt

dt

m(t)

que podemos notar en notaci´n vectorial como o
    

dx dt dy dt





  





   . 

  0   =  

1  x    y

0 0

0   +   T (t) m(t)

−g

Esta expresi´n se puede escribircomo o dz = A z + b. dt donde
        . 

(1.2)

z=

 x    ,  

A=

y

 0 1    ,  

b=

0 0

0    T (t) m(t)

−g

Para aproximar num´ricamente las derivadas podemos utilizar un desarrollo en serie de e Taylor tal como f (x + h) = f (x) + h h2 d2 f df + + O h3 , dx 2! dx2

que nos permite aproximar la primera derivada con una expresi´n haciaadelante o df f (x + h) − f (x) ≈ + O (h) . dx h Tambi´n podemos considerar el desarrollo en serie de Taylor e f (x − h) = f (x) − h df h2 d2 f + + O h3 , dx 2! dx2

que nos permite aproximar la primera derivada con una expresi´n hacia atr´s o a f (x) − f (x − h) df ≈ + O (h) . dx h Utilizando estas expresiones podemos obtener m´todos num´ricos para la ecuaci´n (1.2) de e e o igual forma a como...