Ejercicio de mate

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—proyecto # 1, seccion A—
LA CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS
Fecha de entrega: 21 de septiembre de 2012

La circunferencia de los nueve puntos, tambi´n conocida como circuferencia de Euler, de Feuerbach o el c´
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ırculo
medio-inscrito, es una construcci´n geom´trica importante que puede ser llevada a cabo en cualquier tri´ngulo.
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a
En este proyecto estudiaremos algunas desus propiedades mediante la consideraci´n de un tri´ngulo espec´
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a
ıfico,
haciendo uso de la Geometr´ Anal´
ıa
ıtica.

Elaboraci´n del informe
o
En cada secci´n de Matem´tica B´sica 1 el catedr´tico y su auxiliar decidir´n si el informe es individual o
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a
a
a
a
en grupos peque˜os. Ellos pueden adem´s solicitar condiciones especiales en la entrega de dicho informe, como la
n
aelaboraci´n de una introducci´n, o un comentario, entre otros. En cualquier caso, debe ser entregado en hojas en
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o
blanco, tama˜o carta, y las soluciones de los problemas escritas a mano. Las secciones adicionales (todo lo
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que no sea la resoluci´n de los problemas) debe ser trabajado en un procesador matem´tico o de texto. Las gr´ficas
o
a
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deben ser elaboradas en un programa decomputadora adecuado, como lo son Mathematica, Scientific Notebook,
Matlab, etc. Se recomienda, sin embargo, utilizar Geogebra (gratuito) o Cabri (pagado).
En caso de que la entrega en su secci´n sea en grupo, deben colaborar todos los integrantes de manera justa. Se
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debe incluir una tabla en la que se listen las secciones, problemas o incisos que trabaj´ cada integrante, identificando
o
qui´nhizo qu´ parte. No se permite que un estudiante se dedique exclusivamente a las gr´ficas u otras secciones en
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a
computadora, sino que la letra de todos los miembros debe aparecer en el informe.

Conceptos
Si una recta pasa por dos puntos, digamos P y Q, entonces la llamaremos recta P Q. Para referirnos a figuras
geom´tricas tambi´n lo haremos a trav´s de puntos importantes que lasdeterminen. Por ejemplo, un tri´ngulo cuyos
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v´rtices sean los puntos P, Q y R, lo denotaremos P QR. A lo largo de este proyecto, consideraremos el tri´ngulo
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a
ABC cuyos v´rtices son: A = (0, 0), B = (10, 0), C = (2, 10).
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Problemas a resolver
1

2

Halle las ecuaciones de las rectas AB, BC y CA. A estas tres rectas las llamaremos lados extendidos del
tri´ngulo ABC .
a
aHalle las coordenadas del punto medio entre B y C , al que llamaremos D.
b Halle las coordenadas del punto medio entre C y A, al que llamaremos E .
c Halle las coordenadas del punto medio entre A y B , al que llamaremos F .

3

a Halle la ecuaci´n de la recta perpendicular a BC , que pasa por el v´rtice A. A esta recta la llamaremos
o
e
altura trazada desde A. Halle tambi´n las coordenadasdel punto de intersecci´n de esta altura con su
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o
base BC . Este punto lo denotaremos por G, y es llamado pie de la altura trazada desde A.

o
e
b Halle la ecuaci´n de la recta perpendicular a CA, que pasa por el v´rtice B . A esta recta la llamaremos
altura trazada desde B . Al pie de esta altura lo llamaremos H , halle sus coordenadas (para hacer esto,
note que ahora debemos pensarque la base del tri´ngulo es CA).
a
c Halle la ecuaci´n de la recta perpendicular a AB , que pasa por el v´rtice C . A esta recta la llamaremos
o
e
altura trazada desde C . Al pie de esta altura lo llamaremos I , halle sus coordenadas.
a
d Grafique el tri´ngulo ABC , con sus lados extendidos, y sus tres alturas, identificando cada recta del
dibujo con su respectiva ecuaci´n (hacer una gr´ficalo suficientemente grande para nombrar todo).
o
a
Identifique tambi´n los tres pies de las alturas.
e
4

5

Halle las coordenadas del punto de intersecci´n de la altura trazada desde B , y la altura trazada desde
o
C . Verifique que las coordenadas de dicho punto cumplen la ecuaci´n de la altura trazada desde A (Si las
o
coordenadas de un punto cumplen la ecuaci´n de una recta dada,...