Ejercicios calculo 3

Funciones de varias variables (II)

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TEMA 3 - FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (II): DERIVACIÓN Y DIFERENCIACIÓN 1º) Siendo f(x,y) la función:  x 2 . sen( y ) + y 2 . sen( x)  si ( x, y ) ≠ (0,0)  2 2 f ( x, y ) =  x +y  0............si ( x, y ) = (0,0)    hallar en (0,0) la derivada de f(x,y) según cualquier vector no nulo u. 2 u 2 .u 2 + u1 .u 2 ∂f (0,0) = 1 2 siendo u el vectorde componentes (u1,u2)). (Sol.: 2 ∂u u1 + u 2 2º) Siendo f(x,y) la función:  x. sen( y ) + y. sen( x)  si ( x, y ) ≠ (0,0)  2 2 x +y f ( x, y ) =   0............si ( x, y ) = (0,0)    hallar las derivadas parciales de f(x,y) en (0,0). ∂f ∂f (0,0) = (0,0) = 0 ). (Sol.: ∂x ∂y 3º) Siendo f: R2 ◊ R la función definida por: f ( x, y ) = ϕ ( x, y ).(ax + by ) y siendo ϕ ( x, y ) una funcióncontinua en (0,0), hallar (Sol.: ∂f ∂f (0,0) = a.ϕ (0,0) y (0,0) = b.ϕ (0,0) ) ∂x ∂y ∂f ∂f ∂f ( x, y , z ) , ( x, y , z ) y ( x, y, z ) siendo: ∂x ∂y ∂z ∂f ∂f (0,0) y (0,0) . ∂x ∂y

4º) Hallar

f ( x, y, z ) = x 2 . y. cos( z ) − z. sen( x). cos( y ) . ∂f (Sol.: ( x, y, z ) = 2.x. y. cos( z ) − z. cos( x). cos( y ) ∂x ∂f ( x, y, z ) = x 2 . cos( z ) + z. sen( x). sen( y ) ∂y ∂f ( x, y, z ) = − x2 . y. sen( z ) − sen( x). cos( y ) ) ∂z 5º) Siendo f(x,y) la función:  x3   si. y ≠ 0  f ( x, y ) =  y  0....si. y = 0   hallar la derivada de f(x,y) en el punto (0,0) según cualquier vector u. ∂f (0,0) = 0 ) (Sol.: ∂u

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6º) Hallar la derivada en (0,0) respecto a un vector u genérico, de la función f ( x, y ) = x 2 + y 2 . (Sol.: No existela derivada en (0,0) respecto a ningún vector u) 7º) ¿Es diferenciable en cualquier punto (x,y) la función f(x,y)=x2+y2? En caso afirmativo escríbase la expresión de df. (Solución: Sí. df = 2.x.∆x + 2. y.∆y ) 8º) ¿Es diferenciable en el punto (0,0) la función f ( x, y ) = e ( x + y ) + 2. sen(2.x − y ) ?. En caso afirmativo escríbase la expresión de df(0,0). (Sol.: Sí. df ( 0, 0 ) = 5.∆x − ∆y ) 9º)Hallar en cualquier punto (x,y) en que sea diferenciable la función f(x,y), la diferencial de la función f(x,y)=ln(x+y2). dx + 2. y.dy ) (Sol.: df = x + y2 10º) Siendo f(x,y) la función f(x,y)=x2+y2 y dado el cambio de variables  x = sen(t ) df .   , determinar dt y = t3   df (Sol.: = sen(2.t ) + 6.t 5 ) dt  y 11º) Siendo f ( x, y ) = arctg  y sabiendo que y es función de x según laexpresión x df ∂f y = x 2 determinar y . dx ∂x df ∂f 1 1 (Sol.: ( x, y ) = − y ( x, y ) = ) 2 dx ∂x 1+ x 1+ x2 12º) Hallar (Sol.: ∂f ∂ξ ∂f ∂η

ξ ∂f ∂f y siendo f ( x, y ) = x 2 . y − x. y 2 si x = ξ .η y y = . η ∂ξ ∂η  1 = 3.ξ 2 .η −   η    1  = ξ 3 .1 + 2  )  η   

13º) Hallar las derivadas parciales de primer, segundo y tercer orden de la función: f ( x, y ) = x 3 . y 2 − x. y2

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(Sol.:

∂f = 3.x 2 . y 2 − y 2 , ∂x

∂f = 2.( x 3 . y − x. y ) , ∂y ∂2 f = 2.( x 3 − x) , 2 ∂y

∂2 f ∂2 f = = 6.x 2 . y − 2. y , ∂x∂y ∂y∂x

∂2 f = 6.x. y 2 , 2 ∂x ∂3 f = 6. y 2 , 3 ∂x

∂3 f ∂3 f ∂3 f ∂3 f ∂3 f ∂3 f ∂3 f = = = 12.x. y , = = 2 = 6.x 2 − 2 , = 0) ∂x 2 ∂y ∂x∂y∂x ∂y∂x 2 ∂x∂y 2 ∂y∂x∂y ∂y ∂x ∂y 3 14º) Hallar la matriz jacobianay el jacobiano de la función f: R2 ◊ R2 definida por: x + y   f ( x, y ) =  2  .  x. y      (Sol.: [Df ( x, y )] =    2.  1 2 y x. y   1 .( x − y ) )  y J ( x, y ) = 4. x. y  2. x. y   1 2 x

15º) Hallar en el punto (1,-1,2) la matriz jacobiana y el jacobiano de la función:  x + 2. y    f ( x, y, z ) = 2.x. y + y 2  .  x. y + z 2     1 2 0 (Sol.: D f (1,−1,2) =− 2 0 0 y J(1,-1,2)=16.)    − 1 1 4  

[

]

16º) Estudiar la continuidad, existencia de derivadas parciales y diferenciabilidad en el punto (0,0) de las siguientes funciones de 2 variables:  x. y  .si.( x, y ) ≠ (0,0)  2 16-1) f ( x, y ) =  x + y 2 . 0..........si.( x, y ) = (0,0)    ∂f ∂f (Sol.: Continua, (0,0) = (0,0) = 0 , no diferenciable) ∂x ∂y 16-2) f ( x, y ) = x...