Ejercicios de ecuaciones de navier-stokes

IQ36A 08-1 guía 6.2

1

IQ36A FENOMENOS DE TRANSPORTE, SEMESTRE 08-1 GUIA CAPITULO 6.2 Cap. 6.2: Ecuación de Navier-Stokes. PROBLEMA 6.2-1.- Flujo uniforme con superficie libre, a lo largo de un plano inclinado. Analizar el flujo gravitacional de un líquido en dirección “x” a lo largo de un plano inclinado, de ancho infinito, que forma un ángulo ϕ con la horizontal. Se supone que el líquidose mueve como una capa de altura uniforme “a” y está expuesto a la atmósfera en la superficie libre. a) Demostrar que las ecuaciones de Navier-Stokes se reducen a la única expresión: gx + ν (d2vx/dy2) = 0 cuando se aplican las siguientes hipótesis: (1) Flujo laminar; (2) Velocidad sólo en dirección x; (3) Fluido incompresible; (4) Flujo estacionario; (5) Superficie del líquido a presiónatmosférica. (Se recomienda usar una hoja con las ecuaciones completas y marcar cada término anulado con el número de la hipótesis que lo justifica, para estar así seguros de que se ha demostrado lo que se pide). b) Integrar la ecuación para encontrar vx, usando las siguientes condiciones de borde: (i) Velocidad nula en la pared del plano inclinado. (ii) Esfuerzo tangencial nulo en la superficie de contactocon la atmósfera (esto implica despreciar una leve resistencia friccional presentada por el aire). Solución: Solución: a) Aplicación de las hipótesis para anular términos en las ecs. de Navier-Stokes: Hipótesis 1 (H1): Flujo laminar: La velocidad del fluido es paralela a la pared: vy = 0. H2: Velocidad sólo en dirección x: Esto implica suponer que vz = 0. H3: Fluido incompresible: Se aplica la ecn.de continuidad ∇ • v = 0. Tomando la forma desarrollada de este operador vectorial de la tabla, vemos que se reduce a: ∂vx/∂x = 0 y, en consecuencia, también ∂2vx/∂x2 = 0. H4: Flujo estacionario: ∂/∂t = 0. H5: Superficie del líquido a presión atmosférica. Esta hipótesis requiere algún análisis: La ecn. (C), con las hipótesis anteriores y considerando que la aceleración de gravedad no tienecomponente en la dirección z, se reduce a: ∂p/∂z = 0. Análogamente, la ecn. (B) se reduce a: ∂p/∂y = ρ gy = constante. Como en la superficie, y = a, se tiene p = patm = constante, se deduce que ∂p/∂x = 0 en todas partes.

IQ36A 08-1 guía 6.2

2

H6: Ancho infinito: Esta hipótesis permite anular el término ∂2vx/∂z2. Se obtiene así como resultado la ecuación del enunciado: gx + ν (d2vx/dy2) = 0, enque la derivada parcial se transforma en derivada total porque vx sólo depende de y. b) Condiciones de borde para la integración: (i) Velocidad nula en la pared: y = 0: vx = 0. (ii) Esfuerzo tangencial nulo en la superficie libre: τyx = 0 en y = a. El primer subíndice del esfuerzo tangencial designa la normal a la superficie en la cual actúa (la superficie libre es un plano perpendicular al ejey). El segundo subíndice designa la dirección del esfuerzo (que actúa en la dirección negativa del eje x). La fórmula se encuentra en la tabla del esfuerzo tangencial:
τ xy = τ yx = -µ( ∂ vx ∂ vy + ∂y ∂x

)

Como vy = 0, la condición (ii) se reduce a : ∂vx/∂y = 0 en y = a. Integrando dos veces la ecuación diferencial, se obtiene: vx = - (gx y2 / 2 ν) + c1 y + c2 en que c1 y c2 son lasconstantes de integración. Mediante las dos condiciones de borde, se obtiene finalmente: vx = - (gx y2 / 2 ν) + (gx a y / ν) PROBLEMA 6.2-2.- Medición de la viscosidad Un aparato para medir viscosidades de líquidos consta de dos vasos cilíndricos concéntricos. Se coloca el líquido en el espacio anular entre ambos cilindros. El vaso interior gira a velocidad angular Ω conocida; se mide el torque Tw queresulta de la fricción en la pared de uno cualquiera de los vasos; del torque se calcula el esfuerzo tangencial; se aplican finalmente las ecs. de Navier-Stokes para obtener la viscosidad del líquido. Para este fin, aplicamos las siguientes hipótesis para simplificar las ecuaciones de Navier-Stokes en flujo laminar: flujo estacionario, eje z vertical hacia arriba, trayectorias concéntricas en...