Ejercicios de estadistica

Ejercicios Resueltos de Estadística: Tema 5: Inferencia: estimación y contrastes

1. Si X ~ N (40,10), calcular Pr (39≤ X ≤41) para n=10. ¿En qué intervalo se obtendrán el 95% de los resultados?

SOLUCIÓN:

Pr (39≤ X ≤41) = Pr (

39 − 40 10

≤

X − 40 41 − 40 10
≤

10

) = Pr(-0.31623≤ X ≤0.31623)

Z=

X − 40 10

→ N (0,1); Pr (39≤ X ≤41) = Pr (Z≤0.31623) - Pr (Z≤-0.31623)=

= 2 Pr (Z≤0.31623) Y por tanto, Pr (39≤Z≤41) = 2 ∗ 0.6241 − 1 = .02482

Pr (µ-ε≤ X ≤ µ+ε)=0.95 Pr (µ-ε≤ X ≤ µ+ε)= 2 ∗ Pr( Z ≤

ε
10

) −1

Pr (Z≤

ε
10

)=

1 + 0.95 =0.975 → Z 0.975 → ε = 1.96 10 = 6.1981 2

Por tanto, el intervalo es: (33.802,46.198)

2. Si el contenido en gr. de un determinado medicamento X sigue una distribución N(7.5,0.3), calcular la probabilidad deque para una muestra de tamaño n=5, se obtenga medio menor que 7, Pr ( X ≤ 7).

SOLUCIÓN: A partir de una muestra de tamaño n=5 de una población normal N(µ=7.5,σ=0.3), tenemos que:

    X − 7 .5 7 − 7 .5  Pr( X ≤ 7) = Pr  = Pr( Z ≤ −3.7269) ≤  0 .3 0 .3    5  5 

Donde Z tiene una distribución normal estándar, y por tanto, Pr ( X ≤7) = 0.0001

3. Si la altura de un grupo depoblación sigue una distribución normal N(176,12), calcular la Pr(S≤10) para una muestra de tamaño 8.

SOLUCIÓN:

Considerando una muestra aleatoria de tamaño n de una población normal N(µ,σ), por el teorema de Fisher tenemos que:

(n − 1)S 2
σ2

2 ~ χ n −1

En particular, para una muestra de tamaño n=8 de una población normal N(176,12), el estadístico

7 2 2 S sigue una distribución χ7 , y por tanto 144

 7 2 700  Pr (S ≤ 10) = Pr S 2 ≤ 100 = Pr  S ≤  = Pr (T ≤ 4.8611) 144   144
2 Donde la variable T sigue una distribución χ 7 , es decir,

(

)

Pr (S ≤ 10 ) = 0.3232

4. Un ascensor limita el peso de sus cuatro ocupantes a 300Kg. Si el peso de un individuo sigue una distribución N( 71,7 ), calcular la probabilidad de que el peso de 4 individuos supere los300Kg.

SOLUCIÓN:

Teniendo en cuenta que el peso de cada individuo tiene una distribución normal N(µ = 71,σ = 7), si seleccionamos una muestra aleatoria de 4 individuos, tenemos que:

  4     ∑ Xi   4 300  X − 71 75 − 71    Pr  ∑ X i > 300  = Pr  i =1 = Pr X > 75 = Pr  > = >  4  7 7  4   i =1      4 4     = Pr (Z > 1.1429 ) = 1 − Pr (Z ≤ 1.1429 )

(

)donde Z tiene una distribución normal estándar, y por tanto,

 4  Pr  ∑ X i > 300  = 1 − 0.8735 = 0.1265  i =1 

5. Calcular la probabilidad de que la media µ se encuentre entre X ± 3S para poblaciones normales y n = 5.

SOLUCIÓN: A partir del teorema de Fisher, en el muestreo sobre poblaciones normales, tenemos que los estadísticos

X y S2 son independientes, siendo la distribución delestadístico X −µ T = n∗ una tn-1(t de Student de n -1 grados de libertad). En particular, si consideramos S

una muestra aleatoria de tamaño n = 5, la probabilidad de que la media esté entre X ± 3S viene dada por:

      µ−X X −µ Pr X − 3S < µ < X + 3S = Pr  − 3 < < 3 5  = Pr − 3 5 < T < 3 5 < 3  = Pr  − 3 5 <     S S     5  

(

)

(

)

donde T tiene unadistribución t4, y por tanto:

Pr X − 3S < µ < X + 3S = Pr − 3 5 < T < 3 5 = 2 Pr (T < 6.7082 ) − 1 = 2 ∗ 0.9987 − 1 = 0.9974

(

)

(

)

6. Calcular un intervalo de confianza al nivel α = 0.05 para la probabilidad de p de que un recién nacido sea niño si en una muestra de tamaño 123 se han obtenido 67 niños.

SOLUCIÓN: Teniendo en cuenta que la proporción de varones recién nacidos puedemodelizarse por una variable Bernoulli de parámetro p (probabilidad de que un recién nacido sea varón), el intervalo de confianza al nivel α = 0.05 viene dado por:

 p−z α ˆ  1− 2 

ˆ ˆ p(1 − p ) ˆ ,p+z α 1− n 2

ˆ ˆ p(1 − p )    n 

ˆ Donde n = 123. p =

67 y z α = z 0.975 = 1.96 , es decir, 1− 123 2

(0.544715 − 0.0880096,0.544715 + 0.0880096)
y por tanto, el intervalo...