Ejercicios de fourier

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Tarea 5.- Demostrar las propiedades algebraicas de la transformación de Fourier (Proposición 11.1 en la página 78 de los apuntes del Tema 5).

Demostración.-
Apartado 1.-
αfx+βgxˆξ=-∞∞αfx+βgx·e-2πixξdx=
=-∞∞αfx·e-2πixξ+βgx· e-2πixξdx =
= -∞∞αfx·e-2πixξdx+-∞∞βgx·e-2πixξdx==α·-∞∞fx·e-2πixξdx + β·-∞∞gx·e-2πixξdx=
= α·fξ + β· gξ
-------------------------------------------------
Por lo tanto, αfx+βgxˆξ= α·fξ +β· gξ

Apartado 2.-
f^ξ=-∞∞f(x)·e-2πixξdx=z=z=-∞∞f(x)·e-2πixξdx=-∞∞f(x)·e-2πixξdx= w·v=w·v = -∞∞f(x)·e-2πixξdx= z=z = -∞∞f(x)·e-2πixξdx=*-------------------------------------------------
e-2πixξ=cos-2πixξ+i·sen(-2πixξ)=cos-2πixξ-i·sen-2πixξ= por la paridad del cosx y la imparidad del senx= cos-2πix(-ξ)+i·sen-2πix(-ξ)= e-2πix(-ξ)
* = -∞∞f(x)·e-2πix(-ξ)dx=f-ξ-------------------------------------------------
Por lo tanto, f^ξ = f-ξ
Luego la transformada de la conjugada de f es la conjugada de la transformada de Fourier pero reflejada en el origen. De alguna manera escomo tener una paridad cuando aplicamos la transformada a una función conjugada.
Apartado 3.-
(τhf)^(ξ) = -∞∞fx+h·e-2πixξdx= t=x+hx=t-h dt=dx = -∞∞ft·e-2πi(t-h)ξdt == -∞∞ft·e-2πitξdt ·e2πih =fξ·e2πih

-------------------------------------------------
Por lo tanto, (τhf)^(ξ) = fξ·e2πih
-------------------------------------------------Luego cuando trasladamos nuestra función se traduce en la transformada de Fourier en una rotación 2πh radianes.

Apartado 4.-
gξ=-∞∞gx·e-2πixξdx =-∞∞fx·e2πihx ·e-2πixξdx == -∞∞fx·e-2πix(ξ-h)dx = ( τ-h f)(ξ)
-------------------------------------------------
Por lo tanto, gξ=fx·e2πihxˆ(ξ)= ( τ-h f)(ξ)

Apartado 5.-
gξ=-∞∞gx·e-2πixξdx =...
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