Ejercicios de geometrìa analitica del espacio

Ejercicios y problemas de Geometría Analítica del espacio.

Estos ejercicios se plantean con la finalidad de retroalimentar al lector sobre contenidos de la Geometría Analítica Plana y del Espacio, cada problema y ejercicios, involucra conceptos, propiedades y técnicas para tratar su solución. Esperando y este bloque de ejercicios y problemas sirva de ayuda al estudiante a fortalecer y en sudefecto a conocer las utilidades de las propiedades, los conceptos y relaciones en esta campo atractivo de la Geometría Analítica del espacio.
Enunciado 1

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 (1, 2, 3) y P2 (0, 1, 2) dando la ecuación vectorial, la paramétrica y la cartesiana.

Solución 1

Podemos considerar, sobre un sistema de ejes cartesianos en el espacio, dospuntos P1 y P2 y un punto genérico P de la recta. Teniendo en cuenta la figura adjunta, resulta:


Y considerando que todo vector arbitrario P1P es combinación lineal del vector P1P2, la igualdad anterior nos queda:

| |

Y sustituyendo por los valores de las coordenadas:

Que es la ecuación vectorial de la recta pedida. La anterior ecuación también se puede poner:

Que es la ecuaciónparamétrica de la recta.

Eliminando el parámetro se obtiene la ecuación cartesiana:

Y en nuestro caso concreto:

Enunciado 2

Determinar la ecuación del plano que contiene a la recta:

Y pasa por el punto (1, 2, 3).

Solución 1

Si eliminamos denominadores, obtenemos la ecuación de la recta como corte de dos planos. Tomando las ecuaciones dos a dos, resulta:

2•x – 1•y + 1 = 01•y – 2•z + 1 = 0

Se define como haz de planos al conjunto de los planos que se cortan en una recta común.

Todos los planos del haz se pueden obtener como combinación lineal de dos planos pertenecientes al haz. Obtenemos entonces la ecuación del haz que satisfacen los dos planos anteriores:
2•x – y + 1 + k (y – 2.z + 1) = 0
Como el plano que nos interesa debe contener al punto (1, 2, 3),la anterior ecuación debe quedar satisfecha por dicho valor:

2•x – y + 1 + k (y – 2.z + 1) = 0 2•1 – 2 + 1 + k (2 – 2.3 + 1) = 0 k = 1/3

Hemos obtenido de ese modo el valor del parámetro que satisface las condiciones pedidas.

Sustituyendo en la ecuación y agrupando coordenadas, tenemos:

Solución 2. Podemos también resolver el problema en otra forma. Para ello obtenemos tres puntosque pertenezcan al plano y desarrollamos el determinante:

Necesariamente, el punto (1, 2, 3) debe pertenecer al plano, por lo que será uno de los puntos. Si tomamos complementariamente dos puntos de la recta, tendremos los necesarios.

Considerando las dos primeras ecuaciones y dando valores a una de las coordenadas, obtenemos las otras dos:

Con lo que podemos formar el determinante:

Queresuelto por los adjuntos de la primera fila nos da:

Y desarrollando:
3x-1y+-1z=0→3x-y-z+2=0

Ecuación que coincide con la obtenida por el método anterior.
Enunciado 3

Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (4, 2, -1) y es perpendicular a los planos:
1•x – 3•y + z – 6 = 0 , x + 4•z – 8 = 0
Determinar también el ángulo del plano hallado con cada uno de los ejes decoordenadas.
Solución

La ecuación general del plano es de la forma:

A•x + B•y + C•z + D = 0

Vamos a obtener los coeficientes A, B y C y el término independiente, D, para lo cual planteamos un sistema de ecuaciones. Sabemos que el punto (4, 2, -1) pertenece al plano, por lo tanto, satisfará la ecuación anterior, es decir:

4•A + 2•B – C = - D

Por otro lado, nos dan las ecuaciones de dosplanos perpendiculares al solicitado y sabemos que la condición de perpendicularidad de dos planos es:

A•A’ + B•B’ + C•C’ = 0 (G. Analítica 1)

Por lo que tendremos:

A - 3•B + C = 0 ; A + 4•C = 0

Y podemos formar el sistema:

4•A + 2•B – C = - D ; A - 3•B + C = 0 ; A + 4•C = 0

Si tomamos D como valor conocido obtenemos:

Y sustituyendo en la ecuación general:

Simplificando,...