Ejercicios de Integrales Dobles y Triples
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y CC
.
Autores:
Miguel Martínez Concha
Carlos Silva Cornejo
Emilio Villalobos Marín
Ejercicios Resueltos
1
Cálculo de integrales dobles en coordenadas
rectángulares cartesianas
1.1
Problema
Calcular
ZZ
p
x + ydxdy si D es la región acotada por las respectivas rectas
D
y =x; y = x y x = 1
Solución
Se tiene que la región D = (x; y) 2 IR2 = 0
ZZ
p
x + ydxdy
Z
=
D
2
3
=
2
3
=
0
Z
Z
Z
x
p
=
1; x
x
x + ydydx
1
3=2
(x + y)
0
1
y
x
3=2
(2x)
x
x
dx
dx
0
25=2 2
5=2
(x)
3 5
p
8 2
15
=
1.2
1
x
1
0
Problema
Calcular
ZZ
D
p
x2
y 2 dxdy si Des el dominio limitado por el triángulo de
vértices A (0; 0) ; B(1; 1); C (1; 1) :
Solución
Entonces se tiene que el dominio está delimitado por las rectas y = x;
y = x y x = 1:
Luego el dominio de integración es:
D = (x; y) 2 IR2 = 0
:
Integrando a franjas verticales, resulta
1
x
1; x
y
x
ZZ
D
p
x2
y 2 dxdy
Z
Z
p
x2
x
0
Z 1Z x r
x 1
=
=
1x
y 2 dydx
y
x
x
0
2
dydx
y
Hacemos el cambio de variables = sent =) dy = x cos tdt y
x
determinemos los limites.
x
= arcsen (1) = :
Para y = x =) arcsen
x
2
x
Para y = x =) arcsen
= arcsen ( 1) =
x
2
Por tanto
Z
1
0
Z
x
r
x 1
x
y
x
2
dydx =
=
=
=
=
=
1.3
Z
Z
Z
Z
2
1
0
1
0
1
0
Z
2
2
Z
2
p
1sen2 tdtdx
x2 cos2 tdtdx
2
Z
2
x2 (
2
1
1 + cos 2t
)dtdx
2
sen2t
t
+
2
4
x2
0
Z
x2
2
dx
2
1
x2 dx
0
x3
2 3
1
=
0
6
Problema
Calcular
ZZ
y
D
2x2 dxdy si D es la región acotada por jxj + jyj = 2
Solución
Se tiene que la región D = (x; y) 2 IR2 = jxj + jyj 2
Si escogemos la región con una partición de tipo I, esnecesario utilizar dos
integrales iterativas porque para 2 x 0 , la frontera inferior de la región es
la grá…ca de y = x 2, y la superior es y = x + 2;y para 0 x 2 la frontera
inferior de la región es la grá…ca de y = x 2, y la superior es y = x + 2
Entonces se tiene D = D1 [ D2 tal que D1 [ D2 = :
donde D1 = (x; y) 2 IR2 =
2 x 0;
x 2 y x+2
D2 = (x; y) 2 IR2 = 0 < x 2; x 2 y
x+2
2Por otra parte la funcion del integrando f (x; y) = y 2x2 es simétrica con
respecto al eje y, es decir 8 (x; y; z) 2 D existe ( x; y; z) tal que f ( x; y) =
y 2( x)2 = f (x; y) :
Por lo tanto
ZZ
y
2
2x
dxdy
=
D
=
=
=
=
1.4
2
2
2
Z
Z
Z
2
0
2
Z
0
1
x+2
2x2 dydx
y
x 2
x+2
y2
+ 2x2 y
2
4x3
dx
x 2
8x2 dx
0
8 3
x
364
2 16
3
2
x4
0
=
32
3
Problema
Calcular
ZZ
D
x2 + y 2 dxdy si D = (x; y) 2 IR2 = x2 + y 2
1 :Usando
coordenadas cartesianas
Solución.
Usando coordenadas cartesianas, la región de integración es un círculo
centrado en el origen de radio uno
Por lo tanto
p
p
D = (x; y) 2 IR2 =
1 x 1;
1 x2 y
1 x2
ZZ
2
x +y
2
dxdy
Z
=
D
Z1
1
Z
p
1 x2
p
(x2 + y 2 )dydx
1 x2
1
p
1 x2
y3
=
(x y + ) p
dx
3
1
1 x2
Z 1
p
1p
= 2
(x2 1 x2 +
(1 x2 )3 )dx
3
1
Z 1
Z
p
2 1 p
= 2
x2 1 x2 dx +
(1 x2 )3 dx
3
1
1
2
Con ayuda de una tabla de integrales obtenemos que:
Z
1
x2
1
p
1
x2 dx =
=
(
xp
1
4
1 p
x2 + (x 1
8
1
(arcsen(1)
8
3
1
x2 + arcsenx)1
1
arcsen ( 1) = ( + ) =
8 2
2
8
Z
1
1
p
(1
x2 )3 dx =
(
xp
(1
4
x2 )3 +
3
8
=
3x p
(1
8
3
x2 ) + arcsenx)
8
1
1
Por lo tanto:
ZZ
x2 + y 2 dxdy =
D
2
23
+
=
8
3 8
2
Notese que la solución del problema usando coordenadas cartesianas es
bastante compleja
1.5
Problema
Calcular
y
ZZ
xydxdy si D es la región...
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