Integrales dobles y triples

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CÁLCULO SUPERIOR INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES.
Curso del Instituto Tecnológico de Costa Rica

Walter Mora F., Geovanni Figueroa M.
Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica. www.cidse.itcr.ac.cr

Capítulo 7

INTEGRAL DOBLE E INTEGRAL TRIPLE. CAMBIO DE VARIABLE.

7.1 PROYECCIONES SOBRE LOS PLANOS COORDENADOS.

Más adelante, cuando queramos calcular integrales dobles,triples o de superficie, será necesario proyectar ortogonalmente una superficie sobre alguno de los planos coordenados. Básicamente, las proyecciones son transformaciones lineales que asignan a cada punto P = (x, y, z) sobre el sólido S (o sobre la superficies S) un punto Q , que corresponde a su proyección ortogonal sobre el plano sobre el cual estamos proyectando.

EJEMPLO 7.1

Dibuje laproyección sobre cada uno de los planos coordenados xy, xz, yz, de la superficie S.

S = {(x, y, z) ∈ R | x = y, 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2, 1 ≤ z ≤ 2} Solución.
Cálculo Superior. Walter Mora F., Geovanni Figueroa M. Derechos Reservados c 2009 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

1

2

INTEGRAL DOBLE E INTEGRAL TRIPLE. CAMBIO DE VARIABLE.

En este caso la superficieS es un rectángulo en el espacio. Las proyecciones resultan sencillas como se muestra en la figura 7.1. Observe que la proyección sobre el plano xy es un segmento de línea.

Proyección en xz

Proyección en yz

1 2

1

2

Proyección en xy
Figura 7.1 Proyecciones del rectángulo S

EJEMPLO 7.2

Consideremos el sólido Q limitado por las superficies z = 4 − x2 , y + z = 5 y los planos x= y = z = 0. Dibuje la proyección del sólido Q sobre cada uno de los planos coordenados xy, xz, yz. Solución. El sólido Q y las proyecciones sobre los planos xz y yz son sencillas y se muestran en la figura (7.2),
Z
4

Z
4

Z
4

Y
5 2

Y
5

X

2 5

Y

X

2

X

Figura 7.2 Proyecciones del sólido Q en xz y yz.

La proyección en el plano xy requiere el cálculo de laproyección de la curva de intersección entre la superficie z = 4 − x2 y z + y = 5. Como la proyección de la curva debe quedar en términos de x e y, sustituimos z = 4 − x2 (ya está despejada!) en la segunda ecuación: 4 − x2 + y = 5 o y = 1 + x2 . La proyección se ve en la figura (7.3).

PROYECCIONES SOBRE LOS PLANOS COORDENADOS.

3

Z

1

y = x 2 +1

Y

Figura 7.3 Proyección del sólido Q enxy y yz.

EJEMPLO 7.3

Proyectar sobre cada uno de los planos coordenados, el sólido Q limitado por las superficies z = x2 + y2 + 1, z = 2
Z z=2
2

Z
2

1

1

1 −1

z = x 2+ 1 Y

X
Sólido

Y

X

1

Proyección xz

Z Z z=2
2 −1 −1 1

x
Y

2

+

y

2

=

1

1 −1

X

X
1

1

Y

Proyección yz

Proyección xy

Figura 7.4 Sólido Q y susproyecciones

Solución. En la figura 7.4 se pueden observar el sólido Q y sus las proyecciones: • En el plano yz la proyección esta limitada por las curvas z = 2 y z = y2 + 1. La ecuación z = y2 + 1 se obtiene al calcular la intersección entre el plano x = 0 y la

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INTEGRAL DOBLE E INTEGRAL TRIPLE. CAMBIO DE VARIABLE.

superficie z = x2 + y2 + 1.

• En el plano xz la proyección esta limitadapor las curvas z = 2 y z = x2 + 1. La ecuación z = x2 + 1 se obtiene al calcular la intersección entre el plano y = 0 y la superficie z = x2 + y2 + 1.

• En el plano xy la proyección es el círculo y x2 + y2 = 1. La ecuación x2 + y2 = 1 se obtiene al calcular la intersección entre el plano z = 0 y la superficie z = x2 + y2 + 1.

EJEMPLO 7.4

Proyectar sobre cada uno de los planos coordenados,el sólido Q limitado por las superficies z = 1 − x2 , x + y = 1, x = y = z = 0
Figura 7.5 Sólido Q

Solución.

La proyección sobre el plano xz se muestra en la figura 7.6. La ecuación de la curva C1 corresponde a z = 1 − x2 con x ∈ [0, 1].

Figura 7.6 Proyección sobre xz

INTEGRAL DOBLE.

5

Z

C 1

Y

La proyección sobre el plano yz se muestra en la figura 7.7. Para hallar la...
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