Calculo vectorial integrales dobles y triples

1. Halle el volumen del solido debajo del paraboloide z=3x2+y y por arriba de la región limitada por y=x y x=y2-y.

Igualamos las ecuaciones que limitan al paraboloide para encontrar los puntosde corte

y2-y=y
y2-2y=0
yy-2=0
y1=0
y2=2

Figura 1.15 Grafica 11

Entonces sabemos que 0≤y≤2 y como vemos en la grafica x=y es mayor que x=y2-y por lo tanto:

V=02y2-yy3x2+y2dxdyV=02x3+ y2xx=y2-yx=y

V= 022y3-(y6-3y5+4y4-2y3)dy

V= -y77+y62-4y55+y402

V= 14435

2. Halle el volumen del solido limitado por el cilindro y2+z2=4 y los planos x=2y, x=o y z=0 enel primer cuadrante.

Figura 1.16 Grafica 12

Como podemos ver en la grafica, en el primer cuadrante 0≤y≤2 y x=2y es mayor que x=0 por lo tanto:

V=0202y4-y2dxdy

V= 02x4-y2x=ox=2ydy

V=022y4-y2dy

V= -23(4-y2)3202

V=0+ 163

V= 163

3. Halle el área de la región interior al cardiode r=1-sinθ

Figura 1.17 Grafica 13

Por simetría tenemos que:A=2-π2π201-sinθrdrdθ

A=-π2π2r2r=0r=1-sinθdθ

A=-π2π2(1-2sinθ+sin2θ)dθ

A=-π2π21+ 12(1-cos2θ)dθ

A=0π2(3-cos2θ)dθ

A=3θ-12sin2θ0π2

A= 3π2

4. Halle el volumen del solido limitado por z=x2+y2+3,z=0 y x2+y2=25

02π05r+3rdrdθ

02π05r2+3rdrdθ

02π05r2drdθ+02π053rdrdθ

125302πdθ+75202πdθ

250π3+75π

475π3

5. Hallar la masa y centro de masa de la lamina, junto con losmomentos de inercia

a) y=x3; y=0; x=2; ρx,y=kx

m=020x3kxdydx

m=02kx4dx

m=k02x4dx

m=32k5

x= 532k020x3xkxdydx

x= 532k02x5kdx

x= 532×16x6x=0x=2

x=53

y=532k020x3ykxdydx

y= 532×1202x7dx

y= 564×18 x8x=0x=2

y=1280512

y=52

6. Escriba dentro del paréntesis V (verdadero) o F (falso) al evaluar las siguientes proposiciones:

a)12-34x2ydydx= 496 (V)

12-34x2ydydx

12x22y2y=-3y=4dx

127x22dx

76x3x=1x=2

496

b) Si fx,y= x2+y2 entonces 01x2xfx,ydydx= 335 (V)

01x2xx2+y2dydx

01x2xx2dydx+01x2xy2dydx...