Ejercicios de números complejos

´ MANUEL GONZALEZ SARABIA

´ EJERCICIOS DE NUMEROS COMPLEJOS

1. Reduce a la forma normal: a) b) c)
1+2i 3−4i

+

2−i 5i

5 (1−i)(2−i)(3−i) 3i30 −i19 2i−1

1+i d )3( 1−i )2 − 2( 1−i )3 1+i

2. Encuentra el m´dulo de: o a) (1 + i)5 √ b) ( 3 − i)3 (3 − 2i)2 3. Resuelve las siguientes ecuaciones en R: a) ix − (1 + i)y = 3 b) (2 + i)x + iy =4 4. Encuentra todas las ra´ de la ecuaci´n x3 − 1 = 0. ıces o 5. Describe el conjunto de los n´meros complejos z tales que: u a) z = −z ¯ b) z = (¯)2 z c) z = ¯
1 z

d ) z =(¯)3 z 6. Describe geom´tricamente los siguientes conjuntos: e a) {z ∈ C| Re z ≥ 3 y Im z < 0} b) {z ∈ C| z − 2 + z + 2 = 5} c) {z ∈ C| 0 < Re (iz) < 1} d ) {z ∈ C| z = Re z +1} e) {z ∈ C| Im z 2 = 4}

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7. Demuestra que laelipse z + 3 + z − 3 = 10 se puede representar 2 2 en forma rectangular como x + y = 1. 25 16 8. Si a, b ∈ R, describe geom´tricamente el conjunto de los n´meros come u z−a plejosz para los cuales z−b > 1. 9. Demuestra la identidad 1 − z1 z2 ¯
2

− z1 − z2

2

= (1 − z1 2 )(1 − z2 2 )

10. Prueba que la ecuaci´n z − z0 = R de la circunferenciacon centro o en z0 y radio R se puede escribir en la forma z
2

− 2Re (z z0 ) + z0 ¯

2

= R2

11. Encuentra la forma trigonom´trica de los siguientes n´meros complejos:e u a) z = −3 − 4i b) z = 2 − 2i √ c) z = −1 + 3i √ √ d ) 2 2 + 2 2i √ f ) −2 3 − 2i √ g) 2i
√

e) −i

h)

3 2

− 3i 2

12. Demuestra que el m´dulo del n´mero complejoo u cos α + cos β + i(sen α + sen β) es igual con 2 cos( α−β ) 2 Asumiendo que este coseno es positivo.

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