ejercicios derivadas

SOLUCIONES

EJERCICIOS DERIVADAS



Ejercicio nº 1.-

Calcula f '(2), utilizando la definición de derivada, siendo:

f (x) = 2x2 + 5x


Solución:








Ejercicio nº 2.-

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f (x) = 2x2 - 3x + 1, que es paralela a la recta 2x + 3y - 1 = 0.

Solución:







 Ordenada en el punto:



 Ecuaciónde la recta tangente:






Ejercicio nº 3.-

Considera la función:

f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1

a) Estudia su crecimiento y halla sus máximos y mínimos.

b) Estudia su curvatura y obtén sus puntos de inflexión.


Solución:

a) f '(x) = 6x2 + 18x + 12

f '(x) = 0  6 (x2 + 3x + 2) = 0



 Signo de f '(x):



f (x) es creciente en (-, -2)  (-1, +); esdecreciente en (-2, -1). Tiene un máximo en (-2, -3) y un mínimo en (-1, -4).

b) f ''(x) = 12x +18



 Signo de f ''(x):







Ejercicio nº 4.-



b) Con el resultado obtenido, calcula f '(2).


Solución:









Ejercicio nº 5.-

Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva f (x) = 4x3 - 2x + 1 que son paralelas a la recta y = 10x + 2.Solución:

 Si son paralelas a la recta y = 10x + 2, tienen la misma pendiente; es decir, ha de ser:

f '(x) = 10



 Ordenadas en los puntos:

f (-1) = -1; f (1) = 3

 Ecuaciones de las rectas tangentes:

- En x = -1  y = -1 + 10 (x + 1)  y = 10x + 9

- En x = 1  y = 3 + 10 (x - 1)  y = 10x - 7



Ejercicio nº 6.-

Halla los máximos, mínimos ypuntos de inflexión de la función:

f (x) = (x -2)2 (x + 1)

Di dónde es creciente, decreciente, cóncava y convexa.


Solución:

 Derivada:

f '(x) = 2 (x - 2) (x + 1) + (x - 2)2 = (x - 2) [2 (x + 1) + x - 2] =

= (x - 2) (2x + 2 + x - 2) = 3x (x - 2) = 3x2 - 6x



 Signo de f '(x):



f (x) es creciente en (-, 0)  (2, +); es decreciente en (0, 2). Tiene un máximo en(0, 4) y un mínimo en (2, 0).

 Segunda derivada:

f ''(x) = 6x - 6

f ''(x) = 0  6x - 6 = 0  x = 1

 Signo de f ''(x):



f (x) es convexa en (-, 1); es cócava en (1, +). Tiene un punto de inflexión en
(1, 2).



Ejercicio nº 7.-

Un heladero ha comprobado que, a un precio de 50 céntimos de euro la unidad, vende una media de 200 helados diarios. Por cadacéntimo que aumenta el precio, vende dos helados menos al día. Si el coste por unidad es de 40 céntimos, ¿a qué precio de venta es máximo el beneficio diario que obtiene el heladero? ¿Cual será ese beneficio?


Solución:

Llamamos x al número de céntimos en los que aumenta el precio. Así, cada helado costará 50 + x céntimos; y venderá 200 - 2x helados diarios.

Por tanto, por la venta delos helados obtendrá unos ingresos:

I (x) = (50 + x) (200 - 2x)

Pero tiene unos gastos de: G (x) = (200 - 2x) · 40

Luego, el beneficio será de:

B (x) = I (x) - G (x) = (50 + x) (200 - 2x) - (200 - 2x) · 40 = (200 - 2x) (50 + x - 40) =

= (200 - 2x) (x + 10) = -2x2 + 180x + 2 000

Hallamos x para que el beneficio sea máximo:

B '(x) = -4x + 180

B '(x) = 0  -4x + 180 = 0 x = 45

B ''(x) = -4; B ''(45) < 0  en x = 45 hay un máximo

Por tanto, obtendrá el máximo beneficio vendiendo cada helado a 50 + 45 céntimos de euro. En este caso, el beneficio sería de B (45) = 6 050 céntimos, es decir, de 60,50 euros.

Ejercicio nº 8.-



b) Con el resultado obtenido, calcula f '(1).


Solución:









Ejercicio nº 9.-



Solución: Ordenada en el punto:



 Pendiente de la recta:





 Ecuación de la recta:




Ejercicio nº 10.-

Halla los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la función:




Solución:

 Dominio  R  {1}

 Derivada:





 Signo de f' (x).



f (x) es creciente en (, 0)  (2, ); es decreciente en (0, 1)  (1, 2). Tiene un máximo en...