Ejercicios Diferenciales Parciales

EJERCICIO 1 Obtener la solución el problema de valores iniciales y de contorno:

RESPUESTA DEL EJERCICIO 1 Una solución de la ecuación homogénea será:

Para obtener una solución particular de lacompleta ensayamos:

y si se ha de cumplir:

para K1 tenemos:

Análogamente, para K2 :

y la solución general será:

Para encontrar la solución particular que verifique las condicionesiniciales y de contorno dadas, hacemos:

Derivando esta expresión respecto a x:

por otra parte:

Sumando y restando las dos expresiones anteriores, resulta:

y finalmente :

EJERCICIO 2 Decirsi son o no lineales los siguientes operadores:

RESPUESTA DEL EJERCICIO 2 La expresión general de un operador lineal es:

A partir de ahí podemos decir:


a) Si es lineal



b) No eslineal por



c) No es lineal por



d) Si es lineal



e) No es lineal por



f) No es lineal por 2⋅u²

EJERCICIO 3 Convertir el problema

en un problema de condiciones decontorno homogéneas. RESPUESTA DEL EJERCICIO 3 Nos conviene construir una función v(x, t) que satisfaga al menos las dos condiciones de contorno dadas, v(o, t) = sen2 t ; v(1, t) = 0. Fácilmente vemos queesa función puede ser :

tomamos entonces:

con lo que la ecuación diferencial y las condiciones se transforman como

sigue :

Sustituyendo estos valores obtenemos:

Una vez obtenida lasolución para w(x,t), la función original vendrá dada por:

El método para obtener w(x,t) es análogo al de otros casos de ecuaciones no homogéneas. EJERCICIO 4 Convertir el problema:

en un problemade condiciones de contorno homogéneas. RESPUESTA DEL EJERCICIO 4

En primer lugar consideramos una función v(x, t) que verifique las dos condiciones de contorno. Si ponemos: resulta:

La razón dehaber tomado la función escrita se debe a que en la segunda condición de contorno tenemos la derivada. Con el cambio hecho tomamos:

y nos queda:

Con lo que sustituyendo en la ecuación...