Ejercicios Optimizacion

Optimización: Ejercicios y Aplicaciones

Universidad Católica del Norte, Departamento de economía, IDEAR, Avenida Angamos 0610, Antofagasta - Chile, Phone: (56) (55) 716808, E-mail: msarrias@ucn.cl

1
Calculo Diferencial

1.1.

Concepto de derivada

1. La estática comparativa considera el preoceso de ajuste del equilibrio. Comente.
2. La derivada de una función f ′ (x), osimplemente, f ′ es en sí misma una función la cual mide
tanto la pendiente como la tasa de cambio instantanea de la función original f (x) en un punto
dado. Comente.
dy
3. La derivada, dx , y la tasa de cambio promedio,
lineal. Comente.

∆y
∆x ,

son iguales en cada punto de una función

4. Dada la función de costo total C (Q) = Q3 − 5Q2 +12Q +75, escriba la función de costo variable
(CV).Encuentre la derivada de CV e interprete el significado económico de esa derivada.
5. Encuentre las funciones marginal y promedio de las siguientes funciones totales y grafique los
resultados y analícelos:
a ) Función de costo total CT (Q) = 3Q2 + 7Q + 12
b ) Función de ingreso total: IT (Q) = 10Q − Q2
c ) Función de producto (o producción ) total Q(L) = aL + bL2 − cL3 con a, b, c > 0
6. Dada lafunción de costo promedio CM e(Q) = Q2 − 4Q + 174, encuentre la función CM g (Q).
¿La función dada es más apropiada como una función de largo o corto plazo? ¿Por qué?.
7. Las siguientes preguntas tienen relación con la curva de ingreso promedio:
a ) Dado un IM e(Q) = 60 − 3Q, grafique la curva de ingreso promedio.
b ) Encuentre matemáticamente la función de ingreso total y la función de ingresomarginal
correspondientes a la función dada de IM e(Q)
c ) Comparando las funciones IM e(Q) y IM g (Q), ¿qué se puede conlcluir de sus pendientes
relativas?
8. Proporcione una prueba matemática para el resultado general de que, dada un curva lineal
que representa un promedio, la curva marginal correspondiente debe tener la misma ordenada
al origen, pero su pendiente será el doble de lapendiente de la curva promedio.
9. Regla de la Cadena: Utilice la regla de la cadena para encontrar la derivada
una de las siguientes funciones:
1

dy
dx

para cada

CAPÍTULO 1. CALCULO DIFERENCIAL
a ) y = (3x4 + 5)6
b ) y = (7x + 9)2
c ) y = (4x5 − 1)7
d ) y = −3(x2 − 8x − 7)4
e ) y = (3x − 4) 5x+1
2x+7
f) y =

(8x−5)3
(7x+4)

g ) y = u3 + 2u, donde u = 5 − x2
h ) Obtenga1.2.

dw
dx

de w = ay 2 donde y = bx2 + cx

Concepto de derivada parcial

1. Dada una función de producción Q = 96K 0,3 L0,7 , encuentre las funciones de producto marginal
de L y K . Analice los resultados en términos de las relaciones entre ambas medidas.
2. Calcule las producciones marginales para una función de producción Cobb-Douglas:
Q(x1 , x2 ) = kxα1 xα2
2
1
y para una funciónde elasticidad constante de sustitución (CES):
Q(x1 , x2 ) = k c1 x−α + c2 x−α
1
2

h/α

asumiendo que todos los parámetros son positivos.
3. Considere la función de producción Q(K, L) = 9L2/3 K 1/3 , donde L es la mano de obra y donde
K es el capital:
a ) ¿Cúal es el producto cuando L = 1000 y K = 216?
b ) Utilice el análisis marginal para estimar Q(998, 216) y Q(1000, 217,5)
c )Utilice una calculadora para calcular los dos valores anteriores de Q a tres decimales y
compárelos con los valores obtenidos en el apartado anterior.
d ) ¿Cúal grande debe ser ∆L de tal manera que la diferencia entre Q(1000 + ∆L, 216) y su
proximación lineal, Q(1000, 216) + Q′ (1000, 216)∆L difieran en dos unidades.
L
a
a
4. Sea la función de demanda de elasticidad cosntante Q1 (P1 , P2 , I )= k1 P1 1 1 P2 1 2 I b1

a ) Calcule las 3 elasticidades y muestre que son constantes.
b ) ¿Cuál son los rangos rasonables para los cuatro parámetros en Q1 ?
5. Dada la función de utilidad de un individuo de la forma U (x1 , x2 ) = (x1 + 2)2 (x2 + 3)3 , donde
U (x1 , x2 ) es la utilidad total, y x1 y x2 son las cantidades de dos artículos consumidos.
a ) Halle la función de utilidad...