ejercicios resueltos de programacion lineal

1. Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. Formular un modelo de programaciónlineal que permita maximizar la rentabilidad anual de la inversión en la bolsa. Resolver mediante el método gráfico.

SOLUCIÓN
Es un problema de programación lineal.
 
 variables
inversión
Rendimiento (como esta expresado en % se debe dividir entre 100)
Tipo A
x
10% = 10/100 = 0,1x
Tipo B
y
8% = 8/100 = 0,08y



OBJETIVO
¿Cuántas acciones tipo A y B debo adquirir paraobtener el máximo interés anual?

VARIABLES DE DECISIÓN
Acciones de tipo A (x)
Acciones de tipo B (y)

LIMITACIONES
Cantidad de euros a invertir en acciones tipo A
Cantidad de euros a invertir en acciones tipo B

F:O: Max Z= 0,1x+0,08y
Sujeto a:
R1    
  R2    
  R3    
  R4        
             
             

 





Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a las restriccionespara conseguir la región factible (conjunto de puntos que cumplen esas condiciones)
         r1                                            r2 (paralela a OY)                      r3(paralela a OX)                           r4
x
y
 
x
y
 
x
y
 
x
y
0
210000
 
130000
0
 
0
60000
 
0
0
210000
0
 
 
 
 
 
 
 
130000
65000
 

Nota: los valores de r4 se hallansustituyendo el valor de X en r2, es decir 130000, en la ecuación r4, para despejar Y.

La región factible es la pintada de amarillo, de vértices A, B, C, D y E

 
A(0, 60000), B(120000, 60000), C(130000, 65000), D(130000, 80000) y E(0, 210000)




 Si dibujamos el vector de  dirección de la función objetivo Max Z = 0,1X + 0,08Y, haciendo Max Z = 0,1X + 0,08Y = 10 y la desplazamos se puedecomprobar gráficamente que el vértice  más alejado es el D, y por tanto es la solución óptima.

Recta ISOGANANCIAS
x
Y
100
0
0
125

Sustituir el D (130000, 80000) en F.O
0,1 (130000) + 0,08 (80000) = 19400


CONCLUSIÓN:
Se deben adquirir 130000 acciones tipo A y 80000 acciones tipo B para Maximizar la rentabilidad de la inversión anual a 19400 euros.
 
2. En una pastelería se hacendos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no puedenhacer mas de 125 tartas de cada tipo. Formular un modelo de programación lineal que permita maximizar la ganancia de la pastelería. Resolver mediante el método gráfico.

 
SOLUCIÓN
En primer lugar hacemos una tabla para organizar los datos:
Tipo
Nº
Bizcocho
Relleno
Beneficio
T. Vienesa
x
1.x
0,250x
250x
T. Real
y
1.y
0,500y
400y
 
 
150
50
 
 

OBJETIVO
¿Cuántas tartasVienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio?

VARIABLES DE DECISIÓN
Tartas Vienesa (x)
Tartas Real (y)

LIMITACIONES
Kg de relleno a producir diariamente
Kg de bizcocho a producir diariamente
Número de tartas a realizar de cada tipo diariamente

Función objetivo F.O
Max Z= 250x+ 400y 
Sujeta a: 




Consideramos las rectas auxiliares a lasrestricciones y dibujamos la región factible:
 
Para   x + y =150 (r1)
x
Y
0
150
150
0

Para    0.25x+0.50y=50, ó  x + 2y=200 (r2)
x
Y
0
100
200
0
 
La otras dos son paralelas a los ejes
Al eje OY    x=125 (r3)
Al eje Ox      y =125 (r4)

Y las otras restricciones (x e y mayor o igual a cero) nos indican que las soluciones deben estar en el primer cuadrante.

La región...