Ejercicios Resueltos. Números Complejos
Páginas: 2 (487 palabras)
Publicado: 9 de noviembre de 2013
Ejercicios Resueltos
1. Demuestre que si el número complejo z = a - b i = 460º sus partes real e imaginaria son:
a=2 y b= 2√(3) ≈ 3,46 respectivamente.
Para poder comparar debemos pasar laforma polar a binómica y luego a la forma trigonométrica, teniendo:
z=4(cos 60º + i sen 60º) = 4[ 1/2 + √(3)/2 i] = 2 + 2√(3) i.
La única manera de que a - b i = 2 + 2√(3) i, es
a=2 y-b= -2√(3) ⇒ b= 2√(3) l.q.q.d. (lo que se quería demostrar)
2. Transforme el número complejo z= 2 [cos(π) + i sen(π) ] a su forma Binómica.
Para obtener la forma binómica sólo se tiene quecalcular los valores del cos(π) y el sen(π), y aplicar la propiedad distributiva para obtener
z= 2 [ ( -1) + (0) i ] ⇒ z= -2 + 0 i = -2 (es un número real)
3. Exprese el número complejo z =8+√(π)i en su forma Exponencial.
OJO: aquí el valor de π se toma como un número (3.1416), NO en grados, o se desarrola el ejercicio sin quitar el símbolode π, en cuyo caso se deja sin sustituir por suvalor.
La forma exponencial de un número complejo en general es , por lo que debemos calcular el módulo |z|=√(a² + b²) y el argumento α=Arg(z) = arctg |b/a| ⇒
Como a=8 y b=√(π)≈1,77 tenemos que|z|=√(8² + (√π)²) ⇒ |z| = 8,59
α= arctg (|b/a|)= arctg (|√(π)/8|) ⇒ α = 12,49º luego se tiene que
4. Sí z = 2 - 5i Calcule la potencia z3 y las raices de z1/3=3√z
Para calcular lapotencia de manera más fácil se pasa el número complejo a su forma polar, exponencial o trigonométrica. En cualquiera de las tres formas debemos calcular el módulo |z|=√(a² + b²) y el argumento α=Arg(z)= arctg (|b/a|) ⇒
Como a=2 y b= -5 tenemos que |z|=√(2² + (-5)²) ⇒ |z| = √29 = 5,39
α= arctg (|5/2|) ⇒ α = 68,2º luego si usamos la forma polar tenemos que , y su su potencia es por lo queCálculo de z3
Polar
Demuestre que para las otras formas se obtienen las iguientes expresiones:
Trigonométrica
Exponencial
Binómica (Se usa la forma trigonométrica para obtenerlo)
Cálculo...
1. Demuestre que si el número complejo z = a - b i = 460º sus partes real e imaginaria son:
a=2 y b= 2√(3) ≈ 3,46 respectivamente.
Para poder comparar debemos pasar laforma polar a binómica y luego a la forma trigonométrica, teniendo:
z=4(cos 60º + i sen 60º) = 4[ 1/2 + √(3)/2 i] = 2 + 2√(3) i.
La única manera de que a - b i = 2 + 2√(3) i, es
a=2 y-b= -2√(3) ⇒ b= 2√(3) l.q.q.d. (lo que se quería demostrar)
2. Transforme el número complejo z= 2 [cos(π) + i sen(π) ] a su forma Binómica.
Para obtener la forma binómica sólo se tiene quecalcular los valores del cos(π) y el sen(π), y aplicar la propiedad distributiva para obtener
z= 2 [ ( -1) + (0) i ] ⇒ z= -2 + 0 i = -2 (es un número real)
3. Exprese el número complejo z =8+√(π)i en su forma Exponencial.
OJO: aquí el valor de π se toma como un número (3.1416), NO en grados, o se desarrola el ejercicio sin quitar el símbolode π, en cuyo caso se deja sin sustituir por suvalor.
La forma exponencial de un número complejo en general es , por lo que debemos calcular el módulo |z|=√(a² + b²) y el argumento α=Arg(z) = arctg |b/a| ⇒
Como a=8 y b=√(π)≈1,77 tenemos que|z|=√(8² + (√π)²) ⇒ |z| = 8,59
α= arctg (|b/a|)= arctg (|√(π)/8|) ⇒ α = 12,49º luego se tiene que
4. Sí z = 2 - 5i Calcule la potencia z3 y las raices de z1/3=3√z
Para calcular lapotencia de manera más fácil se pasa el número complejo a su forma polar, exponencial o trigonométrica. En cualquiera de las tres formas debemos calcular el módulo |z|=√(a² + b²) y el argumento α=Arg(z)= arctg (|b/a|) ⇒
Como a=2 y b= -5 tenemos que |z|=√(2² + (-5)²) ⇒ |z| = √29 = 5,39
α= arctg (|5/2|) ⇒ α = 68,2º luego si usamos la forma polar tenemos que , y su su potencia es por lo queCálculo de z3
Polar
Demuestre que para las otras formas se obtienen las iguientes expresiones:
Trigonométrica
Exponencial
Binómica (Se usa la forma trigonométrica para obtenerlo)
Cálculo...
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