Ejercicios Resueltos Metodos Numericos

EJERCICIOS RESUELTOS
Resolución de Ecuaciones No Lineales

1

Método de Bisección
1. Hallar la primera raíz de la ecuación x cos(x) con un error de 0:01 Solución Para poder encontrar la primera raíz positiva, es necesario saber donde esta ubicada, lo cual para la función f (x) = x cos(x) |{z} 1 | {z }
G(x) H(x)

1=0

tenemos que:

y
3 2 1 0 1 -1 -2 -3 2 3 4 5 6

x

Negro: G(x) =x cos(x) ; Rojo: H(x) = 1 Entonces podemos decir que la primera raíz positiva esta en el intervalo [4; 5] : Ahora buscaremos la cantidad de iteraciones para alcanzar la aproximación deseada, entonces: b 2n 5 2n 1 2n 2n n log(2) 4 a < 0:01 < 0:01 < 0:01

> 100 > log(100) log(100) n > log(2) n > 6:64385619

Por lo tanto con n = 7 iteraciones se logra la exactitud deseada.

1

Acontinuación se comenzara a realizar las iteraciones Para n = 1 Tenemos que: a1 b1 luego x1 = = = entonces comenzamos con el análisis f (a1 ) = f (4) = f (x1 ) = f (4:5) = 3:614574483 1:948581097 a1 + b1 2 4+5 2 4:5 = = 4 5

f (b1 ) = f (5) = 0:4183109273 notar que f (x1 ) f (b1 ) < 0 entonces la raíz de la ecuación se encuentra en el intervalo [4:5; 5], entonces la tabla nos queda de la forma n 1 2 3 4 5 67 Para n = 2 Tenemos que: a2 b2 luego x2 = = = a2 + b2 2 4:5 + 5 2 4:75 = 4:5 = 5 an 4 4:5 xn 4:5 bn 5 5 f (an ) f (xn ) f (bn ) + +

realizando el mismo análisis, como en la iteración anterior, tenemos que: f (a2 ) = f (4:5) = f (x2 ) = f (4:75) = 1:948581097 0:8213897798

f (b2 ) = f (5) = 0:4183109273 cabe observar que f (x2 ) f (b2 ) < 0 entonces la raíz esta en el intervalo [4:75; 5] enconse2

cuencia la tabla queda de la forma n 1 2 3 4 5 6 7 an 4 4:5 4:75 xn 4:5 4:75 bn 5 5 5 f (an ) f (xn ) f (bn ) + + +

Para las iteraciones restantes, ocuando el mismo algoritmo (misma forma de trabajo) nos queda la tabla como: n 1 2 3 4 5 6 7 an 4 4:5 4:75 4:875 4:875 4:90625 4:90625 xn 4:5 4:75 4:875 4:9375 4:90625 4:921875 4:9140625 bn 5 5 5 5 4:9375 4:9375 4:921875 f (an ) f (xn ) f(bn ) + + + + + +

+ +

Por lo tanto, con un error de 0:01 la raíz aproximada de x cos(x) x7 = 4:9140625

1 = 0 es:

3

2. Dada la ecuación 1 x + arctan

p

x+1 =0

hallar una aproximación de la raíz con una cota para el error de 0:05 Solución Para poder encontrar en que intervalo se encuentra la raíz, es necesario grá…car, lo cual tenemos que: p f (x) = 1 x + arctan x + 1 p = 1x arctan x + 1 | {z } | {z }
G(x) H(x)

tenemos que:

y

2

1

-2

-1 -1

1

2

3

4

x

-2

Negro: G(x) = 1

x ; Rojo: H(x) =

arctan

p

x+1

En consecuencia la raíz se encuentra en el intervalo [2; 3], ahora buscaremos la cantidad de iteraciones para lograr la exactitud deseada b 2n 2 2n 1 2n 2n n log(2) n n 3 a < 0:05 < 0:05 < 0:05 > 20 > log(20) log(20) >log(2) > 4:321928095

Por lo tanto con n = 5 iteraciones se logra la exactitud deseada. Ahora las iteraciones estan en la siguiente tabla n 1 2 3 4 5 an 2 2 2 2 2 xn 2:5 2:25 2:125 2:0625 2:03125 bn 3 2:5 2:25 2:125 2:0625 f (an ) + + + + f (xn ) f (bn )

Por lo tanto, con un error de 0:05 la raíz aproximada de 1 x5 = 2:03125

x + arctan

p

x + 1 = 0 es

4

2

Método de Newton -Raphson

Antes de comenzar es necesario dejar claro el Criterio de Fourier Teorema (Criterio de Fourier) Si f (a) f (b) < 0 y f 0 (x), f 00 (x) son no nulas y conservan el signo para todo el intervalor donde se encuentra la raíz, el punto de partida x1 2 [a; b] tal que f (x1 ) f 00 (x1 ) > 0 entonces este punto asegurará la convergencia del método de Newton - Raphson. 1. Determinar la raíz realde la ecuacion x3 + 2x2 + 10x con un error menor que 10 Solución Tenemos que: f (x) = x3 + 2x2 + 10x 20 = |{z} x3 2x2 10x + 20 {z } |
G(x) H(x) 7

20 = 0

luego

y 10
8 6 4 2

-2

-1 -2

1

2

3

4

x
:

Negro: G(x) = x3 ; Rojo: H(x) =

2x2

10x + 20

Notar que la raíz real de la ecuación esta en el intervalo [1; 2], luego creando la función de iteración de Newton...