Ejercicios resueltos

RELACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
1. En un concurso se da a cada participante un alambre de dos metros de longitud para que doblándolo convenientemente hagan con el mismo un cuadrilátero con los cuatro ángulos rectos. Aquellos que lo logren reciben como premio tantos euros como decímetros cuadrados tenga de superficie el cuadrilátero construido. Calcula razonadamente la cuantía del máximopremio que se pueda obtener en este concurso.

y x
Condición: 2x+2y = 2 ⇒ x+y = 1 ⇒ Función Objetivo: A(x, y) = x·y ⇒

A(x, y) = x·y (Función Objetivo) Condición: 2x+2y = 2

y =1-x A(x)= x·(1-x) = x-x2 A´(x)=1-2x

A´(x) = 0 ⇒ 1-2x = 0 ⇒ x =1/ 2 m. A´´(x) = -2 ⇒ A´´(1/2) = -2 < 0 Solución: x = 5 dm. e y = 5 dm., siendo Área = 25 dm2. Cuantía máxima a percibir por el premio = 25 €. 2. Unjardinero dispone de 160 metros de alambre que va a utilizar para cercar una zona rectangular y dividirla en tres partes. Las alambradas de las divisiones deben quedar paralelas a uno de los lados del rectángulo. ¿Qué dimensiones debe tener la zona cercada para que su área sea la mayor posible? (es un máximo)

y

y x

y

y

A(x, y) = x·y (Función objetivo) Condición: 2x+4y = 160Condición: 2x+4y = 160 ⇒ y =

80 − x 2

Función:

A(x, y) = x·y x2 ⎛ 80 − x ⎞ = 40xA(x) = x· ⎜ ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠
-. 1/25.-

RELACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
A´(x) = 40-x ⇒ A´(x) = 0 ⇒ x = 40 m.

A´´(x) = -1 < 0 (el punto es un máximo) Para x = 40 m. resulta y = 80 − 40 ⇒ y = 20 m. 2

Solución: x = 40 m, y = 20 m. 3. Se dispone de 400 metros de alambrada para vallar un solar rectangular. ¿Quédimensiones deberá tener el solar para que con esa alambrada se limite la mayor área posible? Razonar el proceso.

y x

Función: A(x, y) = x·y Condición: 2x+2y =400

Condición: 2x+2y =400 ⇒ x + y =200 ⇒ y = 200-x Función: A(x, y)=x·y A(x) = x·(200-x) = 200x-x2 A´(x) = 200-2x ⇒ A´(x) = 0 ⇒ A´´(x) = -2 < 0 x = 100 m

⇒ x = 100 es un máximo, siendo y = 200-100=100

Solución: x = 100 e y = 100,es un cuadrado 4. Un terreno de forma rectangular tiene 400 m2 y va a ser vallado. El precio del metro lineal de valla es de 4 euros. ¿Cuáles serán las dimensiones del solar que hacen que el costo de la valla sea mínimo?

Perímetro del vertedero: P = 2x+2y
400 m
2

y

Coste cerca: 4·P = 4(2x)+4(2y) = 8x+8y (función objetivo) Condición: x·y = 400

x

Condición: x·y = 400 ⇒ y =

400 x-. 2/25.-

RELACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
Coste cerca: C(x, y) = 8x+8y

3200 ⎛ 400 ⎞ C(x) = 8x+8 ⎜ ⎟ = 8x+ x ⎝ x ⎠ 3200 C´(x) = 8- 2 ⇒ C´(x) = 0 ⇒ x2=400 ⇒ x = ± 20; Solución válida x = 20 m. x 2 ⇒ C´’(20)= 0.8 > 0 Es un mínimo C´´(x) = 3200· 3 x 400 Para x = 20 m., siendo y = ⇒ y = 400/20 = 20 m. x
Solución: Las dimensiones del solar son cuadradas con x = 20m. e y = 20m. 5.Supongamos que el solar del problema anterior tiene 200 m2 y un lado a lo largo del río requiere una valla más costosa de 5 euros el metro lineal. ¿Qué dimensiones darán el costo más bajo?

Río x

y

Función: C(x, y) = 4·(2x) + 4y + 5y Condición: x·y = 200

200 x Función objetivo: C(x, y) = 4·(2x) + 4y + 5y = 8x + 9y Condición: x·y = 200 ⇒ y = C(x) = 8x + 9 200 1800 = 8x + x x
225 = ±15(Solución válida: 15 m.)

C´(x) = 8x+

1800 ⇒ C´(x)=0 ⇒ x = x2 2 3600 = 3 x2 x ⇒ C´´(15) =

C´´(x) = 1800

3600 > 0. 153

Luego, en x =15 hay un mínimo, siendo y = 40/3.
Solución: Las dimensiones del solar serán en este caso x =15 m. e y = 40/3 m.

-. 3/25.-

RELACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
6. (El Problema del Cable más Corto) Dos postes con longitudes de 6 y 8 metrosrespectivamente se colocan verticalmente sobre el piso con sus bases separadas una distancia de 10 metros. Calcule aproximadamente la longitud mínima de un cable que pueda ir desde la punta de uno de los postes hasta un punto en el suelo entre los postes y luego hasta la punta del otro poste.

Función: Lcable = y1 + y2
y2 y1

8

6
x

Condición: y12 = 36+x2 y22 = 64+(10-x)2

10-x 10 m.

Lcable...