Ejerciocio de vectores

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VECTORES EN EL ESPACIO

Para poder visualizar los elementos de (3={(x,y,z)/x,y,z((}, primero fijamos un sistema de coordenadas, eligiendo un punto en el espacio llamado el origen que denotaremos por O, y tres rectas por O, perpendiculares entre si, llamados ejes de coordenadas. Estas rectas se llamarán respectivamente eje X, eje Y, eje Z. Fijamos las unidades de longitud en cada uno de losejes y las direcciones positivas, como muestra la figura. Este sistema se llama sistema de coordenadas de la mano derecha.

Dado un punto P en el espacio, le asociamos una terna de números reales (a,b,c), llamada sus coordenadas así: trazamos por P rectas perpendiculares a los ejes X, Y,Z y denotamos por a,b,c los puntos de corte respectivos, es decir, a es la distancia del punto de corte de laperpendicular al eje X trazada por P, al origen de coordenadas O, tomado con signo positivo si el punto de corte está en la dirección positiva del eje X, en otro caso se toma negativo.

Análogamente, dada una terna de números reales (a,b,c), si situamos a sobre el eje X, b sobre el eje Y, c sobre el eje Z y construimos el paralelepípedo generado por los segmentos Oa, Ob y Oc, la diagonal de eseparalelepípedo que comienza en O, termina en un punto P cuyas coordenadas son (a,b,c)

Visualizar las coordenadas en MATLAB

Así a cada punto P en el espacio le asociamos una terna ordenada de números reales (a,b,c) ((3 y viceversa. Ordenada en el sentido de que (a,b,c)=(x,y,z) si y solo si a=x, b=y, c=z. Esta correspondencia se llama sistema de coordenadas rectangulares y escribiremosP(a,b,c) para denotar estas coordenadas o simplemente (a,b,c).

El plano XY está determinado por los ejes X,Y y consta de todos los puntos de coordenadas (x,y,z) tales que z=0

Análogamente,

Plano XZ={(x,y,z)((3/ y=0} y Plano YZ={(x,y,z)((3/ x=0}

Como definimos en el plano, un vector en (3 es un segmento de recta dirigido [pic][pic], cuyo origen está en O=(0,0,0) y cuyo fin está en el puntoP(a,b,c). Por lo tanto a cada punto del plano P(a,b,c) le asociamos el vector [pic]=[pic] y lo denotamos [pic]=(a,b,c). Debido a esta asociación podemos considerar los puntos del espacio como vectores y viceversa. Nos referiremos indistintamente a puntos del espacio como puntos o vectores

DEFINICION 1:

Diremos que los vectores u=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3) son iguales si y solo si u1=v1,u2=v2 y u3=v3.

Generalizando la definición de magnitud de un vector para el caso del plano tenemos la siguiente

DEFINICION 2:

La magnitud o norma de un vector es la longitud del segmento, es decir, de acuerdo al teorema de Pitágoras

[pic]

Un vector de norma 1 se llama vector unitario.

DEFINICION 3:

Sean u=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3) vectores en el espacio y ( un número real.Se define:
el vector suma u+v como u+v= (u1+ v1, u2+ v2, u3+v3)
el vector producto por un escalar (u como (u=((u1, (u2, (u3).

Visualizar la suma y el producto por un escalar en (3

Ejercicio Nº1:

Encuentre el vector unitario en la dirección del vector (2,-2,-1)

(Ver Solución)

Así como en el plano un vector estaba determinado por su magnitud y el ángulo formado con el eje X, noocurre lo mismo para el espacio. Es decir, hay infinitos vectores de norma 1, que forman un ángulo de (/4 con el eje X.

Por lo tanto en (3 se define una dirección como un vector unitario.

DEFINICION 4:

La dirección de un vector v((3 es el vector unitario u=[pic]

DEFINICION 5:

(, (, ( son llamados los ángulos directores del vector u y cos (, cos (, cos ( son llamados los cosenosdirectores

Los vectores unitarios i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1) son las direcciones de los ejes X, Y, Z respectivamente.

De manera similar a como se hizo en el plano se define el producto interior o producto escalar de dos vectores u=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3) como u.v=u1. v1+u2.v2+u3.v3 y también se define el ángulo entre dos vectores u y v como el ángulo no negativo ( mas pequeño entre...
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