ejes girados

EJES GIRADOS:

ROTACIÓN DE EJES
La rotación de ejes consiste en que dado un siatema de ejes cartesianos, hallar otro de tal forma que sus ejes formen un ángulo cualquiera con referencia a los primeros, coincidiendo los orígenes de ambos sistemas. Sean 0x, 0y los ejes originales ysean 0'x', 0'y', los nuevos ejes girados a un ángulo  con respecto a los primeros como se indica en la figura:


Para determinar x y y en función de x', y' y el ángulo  se tiene:
x = 0M = 0N - MN = x' cos  - y' sen 
y = PM = PM' + M'M = x' sen  + y' cos 
Por consiguiente las fórmulas de rotación de coordenadas son:
x = x' cos  - y' sen 
y = x' sen  + y' cos 

Momento estático de área(Sxx, Syy)

a. Momento estático con respecto al eje y-y:



b. Momento estático con respecto al eje x-x



El momento estático es una propiedad aditiva y su valor depende de la posición del eje considerado.

Momentos de inercia (Ixx, Iyy,, Ip)
El momento de inercia de la sección respecto del eje X-X:

El momento de inercia de la sección respecto del eje Y-Y::


Elvalor del momento de inercia depende de la posición del eje considerado.

Momento Polar de Inercia:

Es el momento de inercia de una sección respecto de un punto dado (Polo) ubicado en su plano.


Referido a un sistema de referencia ortogonal X-Y cuyo origen se ubica el punto (Polo):





 El momento polar de inercia de una sección respecto de un punto es igual a la suma de losmomentos de inercia respecto de dos ejes perpendiculares contenidos en dicho plano y que pasen por el punto en torno del cual se calcula el momento polar.

Momento de inercia centrífugo o producto de inercia

Pxy = Ixy =  x y dA

Las dimensiones de este momento son las mismas que las de un momento de inercia en torno de un eje, sin embargo el signo puede ser positivo, nulo o negativo.Los ejes que pasan por el centro de gravedad de una sección respecto a los cuales el momento de inercia centrífugo es igual a cero se denominan ejes principales de inercia de la sección, estos dos ejes son mutuamente perpendiculares. Estos ejes coinciden con los ejes de simetría cuando ellos existen.

Momento de inercia respecto a ejes paralelos. Teorema de Steiner.





Si el momentode inercia respecto del eje Xo-Xo que pasa por el centro de gravedad IXo-Xo es conocido, el momento de inercia respecto de un eje paralelo X-X, situado a una distancia d del eje Xo-Xo, está dado por:



resultando:
Ixx=Ixoxo + Ad2

“Es decir para una sección dada, el momento de inercia respecto de un eje cualquiera ubicado en su plano es igual al momento de inercia respecto de un ejeparalelo que pase por el centro de gravedad más el producto del área por el cuadrado de la distancia entre los ejes.”

Del mismo modo se tiene que:
Pxy = Ix y = Ixoyo + dxo dyo A

Momentos de inercia de secciones compuestas

Si una sección puede descomponerse en varias partes (rectángulos, triángulos, etc.) cuyos momentos de inercia son conocidos, el momento de inercia de la sección conrespecto de un eje es la suma algebraica de los momentos de inercia de cada parte por separado con respecto al mismo eje. De esta forma, antes de sumar, deben referirse todos los momentos de inercia al mismo eje aplicando el Teorema de Steiner.



Momentos de Inercia respecto de ejes girados

El problema a resolver es: “Conocidos los valores de Ixx, Iyy e Ixy respecto de los ejes ortogonalesentre sí X e Y que pasan por un punto, determinar los valores de Iu, Iv y Iuv respecto de otro par de ejes ortogonales U y V que pasan por el mismo punto girados un ángulo  respecto de los ejes X e Y.





Las coordenadas de un elemento dA son x e y, respecto de los ejes X e Y, y u y v, respecto de los ejes U y V. Las relaciones entre estas coordenadas son:


Considerando que Iu e Iv son:...