El numero fi

El nombre phi
(φ, Φ)

[pic]

Alumne: Jordi Valiente Jorge
Curs: Batxillerat 2n C
Tutor de treball: Raül Balasch
Departament: Matemàtiques
Any: 2009 – 2010
Índex

1.Objectiu Pg.3

2.Introducció Pg.4

3.Història Pg.6

4.El nombre phi: Pg.8

- En les matemàtiques Pg.8

- En l’art Pg.23

- En la naturalesa Pg.27

- En l’ésserhumà Pg.30

5.Apèndix Pg.31

6.Conclusions Pg.33

7.Bibliografia Pg.34

8.Participacions Pg.35

Objectiu

L’objectiu que té aquest treball és intentar donar a entendre el que pot significar les matemàtiques, o en aquest cas el nombre phi, en el món. La gent està acostumada a les matemàtiques que s’utilitzen en el món diàriament, però no sap que hi hamoltes més aplicacions que no sospitarien. En aquest treball només volia donar a conèixer una mica les aplicacions se li ha donat a aquest nombre al llarg de la història, a vegades potser, sense voler.
Més concretament, les aplicacions del nombre phi en situacions molt curioses per mi, i suposo, que també per la majoria de gent.

Introducció

El nombre phi, o també anomenat nombre auri onombre d’or, proporció àuria o proporció divina, entre altres, es representa amb el nombre irracional[1]:

[pic]

Es un nombre algebraic[2] amb propietats interessants i va ser descobert a l’antiguitat, no com a “unitat” sinó com a proporció entre segments de rectes. Aquesta proporció es troba tant en figures geomètriques com en la naturalesa. S’hi atribueix un aire estètic especial als objectesque segueixen aquesta proporció. Al llarg de la història, s’hi ha concebut una importància en diverses obres d’arquitectura i altres arts.
El nombre phi o nombre auri ens ve donat per la proporció que caracteritza, la qual es defineix amb la següent fórmula:

[pic]

En l’imatge de la dreta es pot veure la relació que hi ha, que es dóna a partir del rectangle auri.

Aquesta fórmula es potconvertir en una equació de segon grau per poder obtenir [pic] :

Si substituïm la b pel nombre 1 i la a per la incògnita x, tenim una equació:

[pic]

Aquesta equació es transforma en una equació de segon grau multiplicant-la per x, que si la reordenem ens dóna:

[pic]

El qual el seus resultats serien:

[pic]

[pic]

El resultat positiu seria el nombre auri ([pic]).

HistòriaEuclides (300 – 265 a. C.) va ser el primer que va fer un estudi formal de la proporció àuria, qui la va definir de la següent manera:

“Es diu que una línia recta està dividida en l’extrem i la seva proporcional quan la línia sencera és al segment major com al major és al menor.”

- Euclides en els Elements

Euclides també va demostrar que aquest nombre no pot ser descrit com la raó de dosnombres sencers, es a dir, es irracional.

Plató (428 – 347 a. C.) va viure abans de que Euclides investigués el nombre auri, no obstant, a vegades s’atribueix a aquest el desenvolupament de teoremes relacionats amb el nombre auri degut que el historiador grec Proclo va escriure:

“Eudoxe...va multiplicar el nombre de teoremes relatius a la secció als que Plató va donar origen”

- Procloen un comentari sobre el Primer Llibre dels Elements d’Euclides

Aquí llavors s’hi va interpretar bastant la paraula secció (τομή) com la secció àuria. Però a partir del segle XIX molts investigadors han arribat a la conclusió de que la paraula secció no va tindre res a veure amb el nombre auri. No obstant, Plató va considerar que els nombres irracionals, descoberts pels pitagòrics, eren de granimportància i la clau a la física del cosmos.
Plató va començar el deure d’estudiar l’origen i l’estructura del cosmos, que va intentar utilitzant els cinc sòlids platònics, construïts i estudiats per Teeteto. Va combinar la idea de Empédocles de l’existència de quatre elements bàsics de la matèria, amb la teoria atòmica de Democrit. Per Plató cadascun dels sòlids corresponia a una de les...