El numero e

EL NÚMERO e
Quiero plantear aquí un problema que tiene que ver con poner dinero en un banco que rinda un determinado interés. Para hacer la exposición más clara, voy a tomar un ejemplo. Vamos a suponer que una persona tiene un capital de un peso. Y vamos a suponer también que el interés que le pagan anualmente por ese peso es del 100%

Capital: 1 peso 
Interés: 100% anual 

Si uno hace lainversión en el banco y se va a su casa, ¿cuanto dinero tiene cuando vuelve justo al año? Claro, como el interés es del 100%, al año el señor tiene dos pesos: uno que corresponde a su capital y otro que es producto del interés que le pagó el banco. Hasta acá, todo claro: 

Capital al cabo de un año: 2 pesos 

Supongamos ahora que el señor decide poner su dinero no a un año, sino sólo a seismeses. El interés (a lo largo de todo este ejemplo) permanecerá constante: siempre será de un 100%. Al cabo de seis meses entonces, el señor ¿cuanto dinero tiene? ¿Está claro que tiene 1,5 pesos? 
Esto es porque el capital permanece intocable: sigue siendo un peso. En cambio, como el interés es del 100% pero sólo dejó el dinero invertido la mitad del año, le corresponde un interés de la mitad de loque invirtió y, por eso, le corresponden $ 0,50 de interés. Es decir, su nuevo capital es de $ 1,5. Si ahora el señor decide reinvertir su nuevo capital en el mismo banco, con el mismo interés (100%) y por otros seis meses de manera de llegar nuevamente al año como antes, ¿cuánto dinero tiene ahora? 

Nuevo capital: 1,5 
Interés: 100% anual 
Plazo que lo deposita: 6 meses 

Al finalizar elaño, el señor tiene 

1,5 + 1/2 x (1,5) = 2,25 

¿Por qué? Porque el capital que tenía a los 6 meses iniciales, no se toca: $ 1,5. El nuevo interés que cobra es de la mitad del capital, porque el dinero lo pone a un interés del 100% pero sólo por seis meses. Por eso, tiene 1/2 x (1,5) = 0,75 como nuevo dinero que le aporta el banco como producto de los intereses devengados. 
MORALEJA: alseñor le conviene (siempre que el banco se lo permita) depositar el dinero primero a seis meses y luego renovar el plazo fijo a otros seis meses. Si comparamos con lo que le hubiera tocado en el primer caso, al finalizar el año tenia dos pesos. En cambio, reinvirtiendo en la mitad, al cabo de 365 días tiene $ 2,25. 
Supongamos ahora que el señor coloca el mismo peso que tenía originalmente, pero ahorapor cuatro meses. Al cabo de esos cuatro meses, reinvierte el dinero, pero por otros cuatro meses. Y finalmente, hace una última reinversión (siempre con el mismo capital) hasta concluir en el año. ¿Cuánto dinero tiene ahora? 
Yo sé que ustedes pueden seguir leyendo en esta misma página y encontrar la solución, pero siempre es deseable que los lectores hagan un mínimo esfuerzo (si así lo desean)de pensar solos.
De todas maneras, aquí va. Veamos si se entiende. 
Al principio del año el señor tiene: 
1 

A los cuatro meses (o sea, transcurrido 1/3 del año) tiene: 

(1 + 1/3) 

A los siguientes cuatro meses (ocho desde el comienzo) tiene: 

(1+1/3) + 1/3 (1+1/3) = (1+1/3) x (1+1/3) = (1+1/3) 2 

(Esto sucede porque a los cuatro meses el capital es de (1+1/3) y al cabo deotros cuatro meses, tendrá el capital más un tercio de ese capital. 
La cuenta que sigue después, (1+1/3) 2 , se obtiene de "sacar factor común" (1 +1 /3) en el término de la izquierda en la ecuación. 
Ahora bien: cuando el señor invierte (1+1/3) 2 por otros cuatro meses, al llegar justo al fin del año, el señor tendrá el capital (1 +1/3) 2 más (1/3) de ese capital. O sea: 

(1+1/3) 2 + 1/3(1+1/3)2 = (1+1/3) 2 x (1+1/3) = (1+1/3) 3 = 2,37037037... 

Como seguramente advierten, ahora nos queda la tentación de hacerlo no sólo cada cuatro meses, sino cada tres meses. Los invito a que hagan la cuenta ustedes, pero el resultado lo escribo yo. Al cabo de un año, el señor tendrá: 

(1 + 1/4) 4 = 2,44140.625 

Si lo hiciera cada dos meses, tendría que reinvertir su dinero seis veces en...