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4.1 Formas Indeterminadas.

Competencia. Resolver integrales impropias aplicando el tratamiento de formas indeterminadas de límites y conversión de coordenadas rectangulares y polares para la interpretación de las graficas más usuales de nivel básico, con disposición para el trabajo colaborativo y una actitud crítica y responsable. HC: 8, HT: 12.

1

Unidad 4 Integrales Impropias.

4.1Formas indeterminadas.

Competencia. Resolver límites de formas indeterminadas aplicando la regla de L’ Hopital, o utilizando reglas de límites aprendidas en Cálculo diferencial. 4.1.1 Regla de L’Hopital.

Teorema 4.1.1.1 (Regla de L’Hôpital).

Sean f y g dos funciones derivables en un intervalo abierto [a, b] que contiene el punto c, excepto posiblemente en dicho punto c; y sea g’(x) ≠ 0para todo x ≠ c de [a, b].

Si

Lim
xc

f ( x)  Lim g ( x)  0 , y si
xc

Lim g ( x)  0 ,
xc

f ( x)

0

y si

Lim g ( x)  L, entonces se dice que Lim g ( x)  L,
xc xc

f ( x)

f ( x)

Ejemplo 1.

Calcular

Lim
x 0

Sen x x
0 Sen 0 0  se obtiene , que no existe, se dice que se 0 0 0

Si se determina f (0) 

encontró una discontinuidad eliminable,cuya solución se alcanza por L’Hôpital, derivando el numerador y el denominador hasta determinar una solución. Proceso: Se aplica regla de L’Hôpital, y se obtiene

Lim
x0

Cos x  1 , que es la solución. 1
, se

Nota. En el caso que al aplicar la regla de L’Hôpital se obtenga nuevamente vuelve a derivar hasta obtener un valor.

2

4.1 Formas Indeterminadas. Ejemplo 2. Calcular

x 3 x 2  33x  63 Lim x3  4 x 2  3x  18 x 3 3x 2  2 x  33 0 Lim 3x 2  8x  3  0 , por lo x 3
siendo 2 la solución.

Solución. Se aplica la regla de L’Hôpital, y se obtiene

cual se vuelve a utilizar L’Hôpital,

Lim 6 x  8  10  2 ,
x3

6x  2

20

Teorema 4.1.1.2 (Segunda regla de L’Hôpital).

Si f y g son dos funciones derivables en un intervalo abierto [a, b] quecontiene el punto c, excepto posiblemente en dicho punto c; y sea g’(x) ≠ 0 para todo x ≠ c de [a, b].

Si

Lim
xc

f ( x)  Lim g ( x)   , y si
xc

Lim g ( x)   ,
xc

f ( x)



y si

Lim g ( x)  L, entonces se dice que Lim g ( x)  L,
xc xc

f ( x)

f ( x)

Nota. Todos los límites de los teoremas pueden ser sustituidos por límites a la derecha o por límites a laizquierda sin que se afecte la validez del teorema.

Ejemplo 3. Calcular

Lim
x

Ln x x5

Si aplicamos la regla de L’Hôpital, obtenemos

Lim 5x
x

1

5

 0 , donde 0 es la solución.

3

Unidad 4 Integrales Impropias. Ejercicios para Taller 4.1.1.3.

En los ejercicios 1 a 11. Determine los límites siguientes.

1)

Lim
x0

3 x Csc x
5 x 3  5 x 2  6 x  10 x 3 x 2  3x

2)

Lim
x 0

x 3  5x 2  6 x x 2  3x 1  Cos x x x3  2 x 2  5 x  6 x2  x  2

3)

Lim
x

4)

Lim
x0

5)

Lim
x 4

x 3  5 x 2  8 x  48 x 2  8 x  16

6)

Lim
x2

7)

Lim
x 1

x3  3x 2  x  3 x2  4x  3 x 4  625 x5  243

8)

Lim
x

x ex

9)

Lim
x 

Ln x ex

10)

Lim
x 

11)

Lim
x 2

x3  2 x 2  5x 6 x2  x  6

Ejercicios para Tarea. 4.1.1.4.

Determine los límites siguientes. 1)

Lim
x 0

Sen x  3x x

2)

Lim
x 0

Tan 3x 3x

3)

Lim
x 

Ln x x

4)

Lim
x0

Tan x x Sec x

5)

Lim
x0

x2 Ln Cos x

6)

Lim
x 

Ln x 2x

7)

Lim
x0

x 2  3x x2  x

8)

Lim
x

Ln x 3 10 x

4

4.2. Integrales Impropias.

4.2Integrales impropias.

Competencia. Resolver integrales con límites infinitos o con un número finito de discontinuidades infinitas en el intervalo [a, b], utilizando los teoremas correspondientes, para resolver problemas de aplicación de integrales impropias.

4.2.1 Definición de Integral impropia.

Teorema 4.2.1.1 Integrales Impropias

Se entenderá por integral impropia:

a) Si uno o ambos...
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