Electricidad
Competencia. Resolver integrales impropias aplicando el tratamiento de formas indeterminadas de límites y conversión de coordenadas rectangulares y polares para la interpretación de las graficas más usuales de nivel básico, con disposición para el trabajo colaborativo y una actitud crítica y responsable. HC: 8, HT: 12.
1
Unidad 4 Integrales Impropias.
4.1Formas indeterminadas.
Competencia. Resolver límites de formas indeterminadas aplicando la regla de L’ Hopital, o utilizando reglas de límites aprendidas en Cálculo diferencial. 4.1.1 Regla de L’Hopital.
Teorema 4.1.1.1 (Regla de L’Hôpital).
Sean f y g dos funciones derivables en un intervalo abierto [a, b] que contiene el punto c, excepto posiblemente en dicho punto c; y sea g’(x) ≠ 0para todo x ≠ c de [a, b].
Si
Lim
xc
f ( x) Lim g ( x) 0 , y si
xc
Lim g ( x) 0 ,
xc
f ( x)
0
y si
Lim g ( x) L, entonces se dice que Lim g ( x) L,
xc xc
f ( x)
f ( x)
Ejemplo 1.
Calcular
Lim
x 0
Sen x x
0 Sen 0 0 se obtiene , que no existe, se dice que se 0 0 0
Si se determina f (0)
encontró una discontinuidad eliminable,cuya solución se alcanza por L’Hôpital, derivando el numerador y el denominador hasta determinar una solución. Proceso: Se aplica regla de L’Hôpital, y se obtiene
Lim
x0
Cos x 1 , que es la solución. 1
, se
Nota. En el caso que al aplicar la regla de L’Hôpital se obtenga nuevamente vuelve a derivar hasta obtener un valor.
2
4.1 Formas Indeterminadas. Ejemplo 2. Calcular
x 3 x 2 33x 63 Lim x3 4 x 2 3x 18 x 3 3x 2 2 x 33 0 Lim 3x 2 8x 3 0 , por lo x 3
siendo 2 la solución.
Solución. Se aplica la regla de L’Hôpital, y se obtiene
cual se vuelve a utilizar L’Hôpital,
Lim 6 x 8 10 2 ,
x3
6x 2
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Teorema 4.1.1.2 (Segunda regla de L’Hôpital).
Si f y g son dos funciones derivables en un intervalo abierto [a, b] quecontiene el punto c, excepto posiblemente en dicho punto c; y sea g’(x) ≠ 0 para todo x ≠ c de [a, b].
Si
Lim
xc
f ( x) Lim g ( x) , y si
xc
Lim g ( x) ,
xc
f ( x)
y si
Lim g ( x) L, entonces se dice que Lim g ( x) L,
xc xc
f ( x)
f ( x)
Nota. Todos los límites de los teoremas pueden ser sustituidos por límites a la derecha o por límites a laizquierda sin que se afecte la validez del teorema.
Ejemplo 3. Calcular
Lim
x
Ln x x5
Si aplicamos la regla de L’Hôpital, obtenemos
Lim 5x
x
1
5
0 , donde 0 es la solución.
3
Unidad 4 Integrales Impropias. Ejercicios para Taller 4.1.1.3.
En los ejercicios 1 a 11. Determine los límites siguientes.
1)
Lim
x0
3 x Csc x
5 x 3 5 x 2 6 x 10 x 3 x 2 3x
2)
Lim
x 0
x 3 5x 2 6 x x 2 3x 1 Cos x x x3 2 x 2 5 x 6 x2 x 2
3)
Lim
x
4)
Lim
x0
5)
Lim
x 4
x 3 5 x 2 8 x 48 x 2 8 x 16
6)
Lim
x2
7)
Lim
x 1
x3 3x 2 x 3 x2 4x 3 x 4 625 x5 243
8)
Lim
x
x ex
9)
Lim
x
Ln x ex
10)
Lim
x
11)
Lim
x 2
x3 2 x 2 5x 6 x2 x 6
Ejercicios para Tarea. 4.1.1.4.
Determine los límites siguientes. 1)
Lim
x 0
Sen x 3x x
2)
Lim
x 0
Tan 3x 3x
3)
Lim
x
Ln x x
4)
Lim
x0
Tan x x Sec x
5)
Lim
x0
x2 Ln Cos x
6)
Lim
x
Ln x 2x
7)
Lim
x0
x 2 3x x2 x
8)
Lim
x
Ln x 3 10 x
4
4.2. Integrales Impropias.
4.2Integrales impropias.
Competencia. Resolver integrales con límites infinitos o con un número finito de discontinuidades infinitas en el intervalo [a, b], utilizando los teoremas correspondientes, para resolver problemas de aplicación de integrales impropias.
4.2.1 Definición de Integral impropia.
Teorema 4.2.1.1 Integrales Impropias
Se entenderá por integral impropia:
a) Si uno o ambos...
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