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Tema 1: Álgebra de conmutación. Puertas Lógicas

1.1. Postulados y teoremas de un Álgebra de Boole 1.2. Funciones de un Álgebra de conmutación 1.3. Formas canónicas: mintérminos y maxtérminos 1.4. Tablas de verdad. Funciones básicas 1.5. Puertas lógicas. Simbología de representación 1.6. Puertas universales

SISTEMAS DIGITALES – Lógica Combinacional

1.1. Postulados y teoremas de un álgebrade boole
Se dice que un conjunto C con las dos operaciones (+ , ⋅), denominadas suma y producto lógico, es un Álgebra de Boole, si se verifican las siguientes propiedades (postulados de Huntintong): Propiedad 1: El conjunto C debe tener al menos dos elementos distintos. Propiedad 2: Las operaciones + y ⋅ son leyes de composición interna. Es decir, ∀x,y ∈ C, se verifica x + y ∈ C y x ⋅ y ∈ C.Propiedad 3: Existen en el conjunto C dos elementos 0 y 1 llamados neutros, tales que ∀x ∈ C, se verifica x + 0 = x y x ⋅ 1 = x. Propiedad 4: Las operaciones + y ⋅ son conmutativas. Es decir, ∀x,y ∈ C, se verifica x + y = y + x y x ⋅ y = y ⋅ x. Propiedad 5: Las operaciones + y ⋅ son distributivas la una respecto de la otra. Es decir, ∀x,y, z ∈ C, se verifica x ⋅( y+ z) = x ⋅ y + x ⋅ z y x+(y ⋅ z) =(x+y) ⋅ (x+z). Propiedad 6: ∀x ∈ C se verifica que ∃⎯x ∈ C (complementario, simétrico o inverso de x) tal que x + ⎯x = 1 y x ⋅ ⎯x = 0.
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1.1. Postulados y teoremas de un álgebra de boole
Teoremas del Álgebra de Boole: Teorema 1: Los elementos neutros de la suma y el producto (0,1) son únicos. Demostración: realizaremos la demostración para el elemento neutro de la suma (0). La demostraciónpara el elemento neutro del producto es análoga. Supongamos que existen en C dos elementos neutros de la suma, 01 y 02. Puesto que ambos son elementos neutros se debe cumplir que 01+02=01 y que 02+01=02. Sin embargo, por la propiedad conmutativa tenemos que 01+02=02+01, por lo que llegamos a que 01=02, es decir, los dos elementos son el mismo. Teorema 2: ∀x ∈ C, se verifica que x + 1 = 1 y que x ⋅ 0= 0. Demostración: x +1= (x+1) ⋅1 = (x+1) ⋅(x + ⎯x ) = x + 1 ⋅ ⎯x = x + ⎯x = 1 x ⋅ 0 = x ⋅ 0 + 0 = x ⋅ 0 + x ⋅ ⎯x = x ⋅(0 + ⎯x) = x ⋅ ⎯x = 0 Teorema 3: Los elementos neutros 0 y 1 son distintos, siendo cada uno el complementario del otro. Demostración: supongamos 0=1. Por ser el 0 elemento neutro de la suma debe cumplirse que ∀x ∈ C, se verifica que x + 0 = x . Por el teorema anterior, tendríamosque x + 1 = 1. Por lo tanto, si suponemos que 0=1, llegamos a que x = x + 0 = x + 1 = 1, es decir, todos los elementos son el mismo. Como C tiene que tener al menos 2 elementos distintos, 0 debe ser distinto de 1. 3

1.1. Postulados y teoremas de un álgebra de boole
Demostración (teorema 3): Para demostrar que 0 y 1 son elementos complementarios, sólo hay que demostrar que verifican lapropiedad del elementos simétrico, esto es, 0+1=1 y 0 ⋅ 1 = 0: por el teorema 2 tenemos que ∀x ∈ C, x+1=1, por lo que, 0+1=1 por el teorema 2 tenemos que ∀x ∈ C, x ⋅0=0, por lo que, 0⋅1=0 Teorema 4: El elemento simétrico de otro es único. Demostración: supongamos que existen 2 elementos de C (⎯x1 y⎯x2 )que cumplen la propiedad del elemento simétrico de x. De esta forma, tenemos: ⎯x1 = ⎯x1⋅1 = ⎯x1 (x+⎯x2) = ⎯x1x + ⎯x1⎯x2 = ⎯x1 ⎯x2 =⎯x1 ⎯x2 + 0 =⎯x1 ⎯x2 + x⎯x2=⎯x2(⎯x1+x) =⎯x2 Teorema 5 (teorema de involución): ∀x ∈ C se verifica que x = x Demostración:
∀x ∈ C , x + x = 1 y x ⋅ x = 0 Por otro lado, debe cumplirse que x + x = 1 y x ⋅ x = 0 Puesto que el elemento simétrico de otro es único y sabemos que x + x = 1 y x ⋅ x = 0, llegamos a que x = x

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1.1. Postulados y teoremas de un álgebra deboole
Teorema 6 (propiedad de idempotencia): ∀x ∈ C se verifica que x+x = x y x⋅x=x. Demostración: x+x = (x+x) ⋅ 1 = (x+x) ⋅(x+ ⎯x) = x+x⋅⎯x = x x⋅x= x⋅x + 0 = x⋅x + x⋅⎯x= x⋅ (x+ ⎯x ) = x Teorema 7 (teorema de absorción): ∀x,y ∈ C se verifica que x+x ⋅ y = x y Demostración: x+x ⋅ y = x ⋅ 1 + x ⋅ y = x ⋅ (1+y) = x x⋅(x+y) = (x+0)⋅(x+y) = x + 0 ⋅ y= x Teorema 8: ∀x,y,z ∈ C se verifica: x+((x ⋅ y)...
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