Raiz cuadratica

Raíz de la unidad
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En matemática, las raíces n-ésimas de la unidad, o números de de Moivre, son todos los números complejos que resultan 1 cuando son elevados a una potencia dada n. Se puede demostrar que están localizados en el círculo unitario del plano complejo y que en ese plano forman los vértices de un polígono regular den lados con un vértice sobre 1.
Contenido[ocultar] * 1 Definición * 2 Raíces primitivas * 3 Ejemplos * 4 Sumatorio * 5 Ortogonalidad * 6 Notación omega * 7 Polinomios ciclotómicos * 8 Cuerpos ciclotómicos * 9 Referencias |
[editar] Definición
Los números complejos z solución a

se denominan raíces n-ésimas de la unidad.
Hay n diferentes raíces n-ésimas de launidad.

[editar] Raíces primitivas
Las raíces n-ésimas de la unidad forma con la multiplicación un grupo cíclico de orden n, y de hecho estos grupos comprenden todos los subgrupos finitos multiplicativos de los números complejos, excepto el grupo trivial {0}. Un generador de este grupo cíclico es una raíz primitiva n-ésima de la unidad. Las raíces primitivas n-ésimas de la unidad son e2πik / n,donde k y n son coprimos. El número de raíces primitivas diferentes lo da la función totiente de Euler, φ(n).
[editar] Ejemplos
Sólo hay una raíz primera de la unidad, igual a 1.
Las raíces segundas (raíces cuadradas) de la unidad son +1 y -1, siendo -1 la única primitiva.
Las raíces terceras (cúblicas) de la unidad son

donde i es la unidad imaginaria; las dos últimas son primitivas.
Lasraíces cuartas de la unidad son

de las cuales + i y − i son primitivas.
Una de las raíces octavas primitivas de la unidad es

[editar] Sumatorio
Siempre que n sea al menos 2, las raíces n-ésimasde la unidad sumarán 0. Este hecho aparece en muchas áreas de la matemática y se puede probar de varias maneras. Una prueba elemental es aplicar la fórmula de la progresión geométrica:

Otra razón de lasuma nula es que las raíces de la unidad, dibujadas sobre el plano complejo, forman los vértices de un polígono regular cuyo baricentro (por simetría) está sobre el origen. Este sumatorio es un caso especial de la suma gausiana.
[editar] Ortogonalidad
Se puede usar la fórmula del sumatorio para probar una relación de ortogonalidad:

donde δ es la delta de Kronecker.
Las raíces n-ésimas de launidad se pueden usar para formar una matriz cuyo elemento Ai,j es

De lo anterior, las columnas de esta matriz son ortogonales y por tanto es unitaria. De hecho, esta matriz es precisamente la transformada de Fourier discreta (aunque varían la normalización y la convención de signos).
Las raíces n-ésimas de la unidad forman una representación irreducible de cualquier grupo cíclico de orden n.La relación de ortogonalidad se obtiene de los principios de teoría de grupos descritos en el grupo de caracteres.
Las raíces de la unidad aparecen en los autovectores de las matrices hermitianas (por ejemplo, de la laplaciana discretizada unidimensional con límites periódicos), de los que se obtiene también la propiedad de ortogonalidad (Stran, 1999).
[editar] Notación omega
La raíz primitivae − 2πi / n (o su conjugada e2πi / n) se escribe a menudo ωn (o a veces simplemente ω), especialmente en el contexto de la transformada de Fourier discreta.
[editar] Polinomios ciclotómicos
Artículo principal: polinomio ciclotómico
Los ceros de un polinomio son precisamente las raíces n-ésimas de la unidad, cada una con multiplicidad 1.
El polinomio ciclotómico n-ésimo está definido por elhecho de que sus ceros son precisamente las raíces primitivas n-ésimas de la unidad, cada una con multiplicidad 1: donde z1,...,zφ(n) son las raíces primitivas n-ésimas de la unidad, y φ(n) es la función totiente de Euler. El polinomio Φn(z) tiene coeficientes enteros y es un polinomio irreducible sobre los números racionales (es decir, no puede ser escrito como producto de dos polinomios de...