Electronica

Modelación Posición de un Motor de CC
Physical Setup
El motor de CC es un actuador común en control sistemas. Provee movimiento rotatorio directamente y, acoplado con ruedas dentadas o poleas y cables, puede proveer movimiento transicional. El circuito eléctrico de la armadura y el diagrama de cuerpo libre del rotor se muestran en la siguiente figura:

Para este ejemplo, asumimos losvalores siguientes para los parámetros físicos. Estos valores se derivaron experimentalmente de un motor real del laboratorio de control para alumnos de grado del Carnegie Mellon.
* momento de inercia del rotor (J) = 0.01 kg.m^2/s^2
* coeficiente de amortiguamiento del sistema mecánico (b) = 0.1 Nms
* constante de fuerza electromotriz (K=Ke=Kt) = 0.01 Nm/Amp
* resistencia eléctrica(R) = 1 ohm
* inductancia eléctrica (L) = 0.5 H
* entrada (V): Fuente de Tensión
* salida (theta): posición del eje
* el rotor y eje se consideran rígidos
Ecuaciones del Sistema
El torque del motor, T, se relaciona con la corriente de armadura, i, por un factor constante Kt. La fuerza contraelectromotriz (emf), e, se relaciona con la velocidad de rotación mediante lassiguientes ecuaciones

En unidades del sistema internacional SI (las que usaremos), Kt (constante de armadura) es igual a Ke (constante del motor).
De la figura de arriba podemos escribir las siguientes ecuaciones basadas en la ley de Newton combinado con la ley de Kirchhoff:

1. Función de Transferencia
Usando Transformadas de Laplace las ecuaciones del modelo de arriba pueden expresarse entérminos de s.

Eliminando I(s) podemos obtener la siguiente función de transferencia, donde la velocidad de rotación es la salida y la tensión es una entrada.

Sin embargo como durante este ejemplo estamos mirando a la posición, como que es la salida. Podemos obtener la posición integrando Theta Punto, por lo tanto solo necesitamos dividir la función de transferencia por s.

2. Espacio deEstado
Estas ecuaciones pueden también representarse en la forma espacio de estado. Si elegimos posición del motor, velocidad del motor, y corriente de armadura como las variables de estado, podemos escribir las ecuaciones como sigue:

Requerimientos de diseño
Quisiéramos poder posicionar muy precisamente al motor, entonces el error de estado estacionario de la posición del motor debería sercero. Además quisiéramos que el error de estado estacionario debido a una perturbación también sea nulo. El otro requerimiento a la performance es que el motor alcance muy rápidamente su posición final. En este caso, queremos tener un tiempo de establecimiento de 40ms. y un sobrepico menor que 16%.
Si simulamos la entrada de referencia (R) por una entrada escalón unitario, entonces la salidavelocidad del motor debería tener:
* Tiempo de establecimiento menor que 40 milisegundos
* Sobrepico menor que 16%
* Error de estado estacionario nulo
* Sin error de estado estacionario debido a una perturbación
Representación en Matlab y respuesta a lazo abierto
1. Función de Transferencia
Podemos poner la función de transferencia en Matlab definiendo el numerador y eldenominador como vectores:
Cree un nuevo archivo-m e ingrese los siguientes comandos:
J=3.2284E-6;
b=3.5077E-6;
K=0.0274;
R=4;
L=2.75E-6;
num=K;
den=[(J*L) ((J*R)+(L*b)) ((b*R)+K^2) 0];
Ahora veamos qué hace el sistema original a lazo abierto. Copie el siguiente comando al final delarchivo-m y ejecútelo en la ventana de comandos del Matlab:
step(num,den,0:0.001:0.2)
Debería obtenerse la figura siguiente:

De la figura vemos que cuando se aplica 1 volt al sistema, la posición del motor cambia en 6 radianes, seis veces mayor que la posición deseada. Para una entrada escalón de 1 volt, el motor debe girar alrededor de 1 radian. Además, el motor alcanza un...