elementos de logica y teoria de conjuntos















ELEMENTOS DE LO´ GICA Y TEORI´A DE CONJUNTOS



Dra. Patricia Kisbye

Dr. Alejandro L. Tiraboschi

3

INTRODUCCIO´ N


Estas notas han sido elaboradas con el objetivo de ofrecer al ingresante a las carreras de la FaMAF un curso introductorio a la lo´ gica elemental y teor´ıa de conjuntos. Los temas abarcados son, a grandes rasgos, nociones ba´sicas de conjuntos, operaciones entreconjuntos y producto cartesiano; proposiciones, conectivos lo´ gicos y cuantificadores. Gran parte de los contenidos y ejercicios han sido extra´ıdos de los primeros cap´ıtulos de nuestras notas Elementos de Lo´ gica y Computacio´ n, Trabajos de Informa´tica, No. 1/99.
Cada cap´ıtulo contiene un desarrollo teo´ rico, variados ejemplos y una completa lista de ejercicios de aplicacio´ n.


AlejandroTiraboschi
Patricia Kisbye








I´ndice general


Cap´ıtulo 1. TEOR´IA BA´ SICA DE CONJUNTOS 7

1.
Conjuntos y pertenencia
7
2.
Subconjuntos
9
3.
Ejercicios
15

Cap´ıtulo 2. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS 19

1.
La unio´ n de conjuntos
19
2.
La interseccio´ n
20
3.Complemento de un conjunto
21
4.
Diferencia
22
5.
Ejercicios
24

Cap´ıtulo 3. PRODUCTO CARTESIANO 27

1.
Pares ordenados y producto cartesiano
27
2.
Representacio´ n en ejes cartesianos
28
3.
Ejercicios
31

Cap´ıtulo 4. LO´ GICA35

1.
Proposiciones
35
2.
Conectivos lo´ gicos
36
3.
Negacio´ n
36
4.
Conjuncio´ n
37
5.
Disyuncio´ n
38
6.
Los conectivos y las operaciones entre conjuntos
39
7.
Propiedades de la conjuncio´ n y la disyuncio´ n
39
8.
Ejercicios
40

Cap´ıtulo 5. CUANTIFICADORES 43

1.
Funciones proposicionales

432.
Cuantificadores

44
3.
Negacio´ n de cuantificadores

45
4.
Ejercicios


5
46
6 ´INDICE GENERAL

Cap´ıtulo 6. OTROS CONECTIVOS 47

1.
Condicional o implicacio´ n
47
2.
Bicondicional o doble implicacio´ n
48
3.
Argumentos ydemostraciones
49
4.
Combinacio´ n de proposiciones con conectivos lo´ gicos
50
5.
Ejercicios
51




CAP´ıTULO 1


TEORI´A BA´ SICA DE CONJUNTOS


Cualquier coleccio´ n de objetos o individuos se denomina conjunto. En el contexto de la matema´tica, el te´rmino conjunto no tiene una definicio´ n sino que es un concepto primitivo. Ejemplos de conjuntos son el conjunto de los nu´ meros naturales, de lostelevisores de la ciudad de Co´ rdoba y de los peces en los oce´anos. Nuestro objetivo sera´ estudiar aquellos conjuntos que esta´n relacionados con el campo de la matema´tica, especialmente los conjuntos nume´ricos. La teor´ıa de conjuntos es fundamental en matema´tica y de suma importancia en informa´tica, donde encuentra aplicaciones en a´reas tales como inteligencia artificial, bases de datos ylenguajes de programacio´ n.


1. Conjuntos y pertenencia

Un conjunto esta´ integrado por objetos y los objetos que integran el conjunto se llaman
elementos de ese conjunto. Ejemplos de conjuntos son los siguientes:

El conjunto de los nu´ meros enteros.
El conjunto de los nu´ meros naturales mayores que 5 y menores que 9. El conjunto formado por los estudiantes de primer an˜ o de laFa.M.A.F.
El conjunto formado por un punto P en el plano y las rectas que pasan por e´l.

Un conjunto sin elementos se denomina conjunto vac´ıo.

En general usaremos letras mayu´ sculas para designar a los conjuntos y letras minu´ sculas para designar a sus elementos. Si a es un elemento de un conjunto A se escribe a ∈ A y se lee a pertenece a A o a es un elemento de A. Si a no es un elemento del...