Elementos Maximales y Minimales


ELEMENTOS MAXIMALES Y MINIMALES
MAPAS DE KARNAUGH












Curso:
Matematicas Discretas


















Universidad de Antioquia
Medelllin2013



ELEMENTOS MAXIMALES Y MINIMALES

Definicion:
En matemáticas, especialmente en teoría del orden, un elemento maximal de un conjunto parcialmente ordenado P es un elementode P que no es menor que cualquier otro. El término elemento minimal se define de manera dual.

Sea (P, ≤) un conjunto parcialmente ordenado; m ∈ P es un elemento maximal de P si elúnico x ∈ P tal que m ≤ x es x = m.
La definición de elemento minimal se obtiene reemplazando ≤ por ≥.

Propiedades:

A primera vista parecería que m debería ser un elemento máximo, lo queno es siempre cierto: la definición de elemento maximal es algo más débil. De hecho, pueden existir elementos maximales sin que haya un máximo. La razón es que, en general, ≤ es sólo unorden parcial en P; si m es un maximal y p ∈ P, cabe la posibilidad de que ni p ≤ m ni m ≤ p, con lo que m no sería máximo. Esto permite, además, que haya más de un elemento maximal enun conjunto.
Sin embargo, si m ∈ P es maximal y P tiene un máximo, se cumplirá que máx(P) ≤ m; por definición de máximo se debe tener m ≤ máx(P) y por lo tanto m = máx(P); en otraspalabras, un máximo, si existe, es también el único maximal.
No es difícil ver que si ≤ es un orden total en P, las nociones de máximo y maximal coinciden: sean m ∈ P un elemento maximal,y p ∈ P arbitrario; por la condición de orden total, o bien p ≤ m o bien m ≤ p; en el segundo caso se tendría p = m por definición de maximal, con lo cual p ≤ m, y por consiguiente, m =máx(P).
No siempre existen los elementos maximales, ni siquiera en el caso en que P esté totalmente ordenado.

Ejemplos:

Sea P = [0, ∞[ ⊆ R. Para todo m ∈ P se tiene x = m + 1...