eliminacion gaussiana

Eliminación de Gauss-Jordan
En matemáticas, la eliminación de Gauss-Jordan, llamada así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción delsistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El metodo de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal unitaria.
El método fue presentado por el matemático Carl Friedrich Gauss, pero se conocía anteriormente en unimportante libro matemático chino llamado Jiuzhang suanshu o Nueve capítulos del arte matemático.[cita requerida]
Análisis de Complejidad
La complejidad computacional de la eliminación gaussiana es aproximadamente n3. Esto es, el número de operaciones requeridas es n3 si el tamaño de la matriz es n × n.
[editar]Algoritmo de eliminación de Gauss-Jordan
1. Ir a la columna no cero extrema izquierda
2.Si el primer renglón tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otro que no lo tenga
3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos adecuados del renglón superior a los renglones debajo de él
4. Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante. Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en laforma de escalón)
5. Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para cada renglón obtener un 1 delantero e introducir ceros arriba de éste sumando múltiplos correspondientes a los renglones correspondientes
Una variante interesante de la eliminación de Gauss es la que llamamos eliminación de Gauss-Jordan, (debido al mencionado Gauss y a Wilhelm Jordan), esta consiste en irobteniendo los 1 delanteros durante los pasos uno al cuatro (llamados paso directo) así para cuando estos finalicen ya se obtendrá la matriz en forma escalonada reducida
[editar]Ejemplo
Supongamos que es necesario encontrar los números x, y, z, que satisfacen simultáneamente estas ecuaciones:

Esto es llamado un sistema lineal de ecuaciones. El objetivo es reducir el sistema a otroequivalente, que tenga las mismas soluciones. Las operaciones (llamadas elementales) son estas:
Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo.
Intercambiar de posición dos ecuaciones
Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.
Estas operaciones pueden representarse con matrices elementales que se usan también en otros procedimientos como la factorización LU o la diagonalización por congruencia de unamatriz simétrica.
En nuestro ejemplo, eliminamos x de la segunda ecuación sumando 3/2 veces la primera ecuación a la segunda y después sumamos la primera ecuación a la tercera. El resultado es:

Ahora eliminamos y de la primera ecuación sumando -2 veces la segunda ecuación a la primera, y sumamos -4 veces la segunda ecuación a la tercera para eliminar y.

Finalmente eliminamos z de la primeraecuación sumando -2 veces la tercera ecuación a la primera, y sumando ½ veces la tercera ecuación a la segunda para eliminar z.

Despejando, podemos ver las soluciones:

Para clarificar los pasos, se trabaja con la matriz aumentada. Podemos ver los 3 pasos en su notación matricial:
Primero:

Después,

Por último.

Si el sistema fuera incompatible, entonces nos encontraríamos con una filacomo esta:

Que representa la ecuación: , es decir,  que no tiene solución.
[editar]Forma escalonada y escalonada reducida
Artículo principal: Matriz escalonada.
Dos formas especiales de matrices son la escalonada y la escalonada reducida. Una matriz puede tener las siguientes propiedades:
1. Todas las filas cero están en la parte inferior de la matriz.
2. El elemento delantero de cada...