Elipse y parabola

EJERCICIOS RESUELTOS DE LA PARABOLA



PROBLEMAS RESUELTOS
Hallar las Coordenadas del Vértice, del Foco, Longitud del Ancho Focal, la Ecuación de la Directriz y trazar la gráfica de las siguientes parábolas:
1.- y2 = 12x
SOLUCIÓN
Esta ecuación es de la forma y2 = 4px, por lo tanto:
V(0 ,0)
4p = 12
p = [pic]
p = 3
Ancho Focal = 4p = 12
Foco = F(p , 0) = F(3 , 0)
Ecuación de laDirectriz
x = -3
o
x + 3 = 0
[pic]
[pic]
2.- x2 = -8y
SOLUCIÓN
Esta ecuación es de la forma x2 = -4py, por lo tanto:
V(0 , 0)
4p = 8
p = [pic]
p = 2
Ancho Focal = 4p = 8
Foco = F(0 , -p) = F(0 , -2)
Ecuación de la Directriz:
y = 2
o
y +2 = 0
[pic]
[pic]
3.- 4y2 = -28x
SOLUCIÓN
y2 = [pic]
y2 = -7x
Esta ecuación es de la forma y2 = -4px, por lo tanto:
V(0 , 0)
4p = 7
p = [pic]Ancho Focal = 4p = 7
Foco = F(-p , 0) = F [pic]
Ecuación de la Directriz:
x = p
x = [pic]
o
x - [pic]= 0
[pic]
[pic]
Hallar la ecuación de cada una de las parábolas siguientes con los datos indicados. Trazar la gráfica.
4.- Foco (6 , 0), Ecuación de la Directriz: x + 6 = 0
SOLUCIÓN
Aplicamos la condición de PF = PM = Ecuación de la Directriz, obteniendo :
[pic]= X + p
Sustituyendovalores:
[pic]= X + 6
Elevando al cuadrado y simplificando:
x2 - 12x + 36 + y2 = x2 +12x + 36
y2 - 12x = 12x
y2 = 24x
Esta ecuación es de la forma y2 = 4px, por lo tanto:
V(0,0)
Ancho Focal = 4p = 24
[pic]
[pic]
5.- Foco (0 , 3), Ecuación de la Directriz y + 3 = 0
SOLUCIÓN
Aplicamos la condición PF = PM = Ecuación de la Directriz, obteniendo:
[pic]= y + p
Sustituyendo valores:[pic]= y +3
Elevando al cuadrado:
x2 + (y - 3)2 = (y + 3)2
x2 + y2 - 6y + 9 = y2 + 6y + 9
x2 = 12y
Esta ecuación es de la forma x2 = 4px, por la tanto:
V(0 , 0)
Ancho Focal = 4p = 12
[pic]
[pic]
Hallar las Coordenadas del Vértice, Ancho Focal, la Ecuación de la Directriz y trazar la gráfica de las siguientes parábolas de vértice fuera del origen. Transformando la ecuación dada a la forma (y- k)2 = [pic]4p(x -h) o (x - h)2 = [pic]4p(y - k) según corresponda.
6.- y2 + 6y - 8x +7 = 0
SOLUCIÓN
a) La ecuación dada hay que transformarla a la forma (y - k)2 = [pic]4p(x - h), por lo tanto:
(y + 3)2 = 8x + 9
NOTA: El tercer término del binomio (y + 3)2 se añade al segundo miembro para que el sistema no se altere.
(y + 3)2 = 8x + 9 + 7
(y + 3)2 = 8x + 16
(y + 3)2 = 8(x + 2)
De laecuación anterior obtenemos:
b) V(-3 , -2)
c) Ancho Focal = 4p = 8
Dado que 4p = 8
p = 2
d) F(h+p , k) = F(-2 + 2 , -3) = F(0 , -3)
e) Ecuación de la Directriz:
x = h - p
x = -2 - 2
x = -4
o
x + 4 = 0
[pic]
[pic]
7.- y2 + 4y + 4x + 12 = 0
SOLUCIÓN
La ecuación dada hay que darle la forma (y -k)2 = [pic]4p(x - h)
(y + 2)2 = - 4x - 12 + 4
(y + 2)2 = - 4x -8
(y + 2)2 = - 4(x + 2)
Elsigno negativo en la ecuación obtenida indica que la parábola abre a la izquierda. De aquí se obtiene lo siguiente:
a) V(h , k) = V -2 , -2)
b) Ancho Focal = 4p = 4
Por lo tanto
p = 1
c) F(h - p , k)
F(-2 - 1, -2)
F(-3 , -2)
d) Ecuación de la Directriz:
x = h - (-p)
x = -2 - (-1)
x = -2 + 1
x = -1 o x + 1 = 0
[pic]
[pic]
3.- 5x2 + 5x + 2y -1 = 0
SOLUCIÓN
Dividiendo por 5, tenemos:x2 + x + [pic]- [pic]= 0
[pic]
Esta ecuación es de la forma (x -h )2 = - 4p(y - k), por lo tanto:
a) V(h , k) = V[pic]
b) Ancho Focal = 4p = [pic]
Por lo tanto
p = [pic]= [pic]= 0.1
c) F(h , k - p) = [pic]
d) Ecuación de la Directriz
y = k + p
y = 1.1 + 0.1
y = 1.2
o
y - 1.2 = 0
[pic]
[pic]
9.- x2 - 4y - 2 = 0
SOLUCIÓN
x2 = 4y + 2
x2 = [pic]
(x - 0)2 = [pic]
Esta ecuación esde la forma (x - h)2 = 4p(y - k), por lo tanto:
a) V(h , k) = V[pic]
b) Ancho Focal = 4p = 4, por lo tanto p = 1
c) F(h , k - p) = F[pic] = F[pic]
d) Ecuación de la Directriz
y = k - p
y = - [pic]-1
y = -[pic]
y = -1.5
o
y + 1.5 = 0
Obsérvese en la gráfica que el eje de simetría de la parábola coincide con el eje Y.
[pic]
[pic]
10.- y2 - 32y - 24x - 32 = 0
SOLUCIÓN
(y - 16)2 =...