Elipses

Elipses
*Definición:
Una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano, tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijosdel plano (los focos) sea una constante positiva.

*Ecuaciones estándares de una elipse con centro en el origen.

x2a2 + y2b2=1Ó x2b2+y2a2=1,


En dónde a> b> 0, es una elipse con centro en el origen. La longitud del eje mayor es 2a y la longitud deleje menos es 2b. Los focos están a una distancia c del origen, donde c2 = a2 – b2.

Se ha demostrado que la ecuación de una eclipsecon centro en el origen y focos en un eje coordenado siempre se puede escribir:

x2p+ y2q=1 ó qx2+ py2=pq
Con p y q positivas y p≠ q. Si p>q, el eje mayor esta en el eje x; si p>q, el eje menor esta el eje y.

Trazado de una elipse con centro en el origenEjemplo:
Traza la gráfica de 2x2 + 9y2=18 y encuentra los focos.
Solución:
La gráfica en una elipse con centro en el origen y focosen un eje coordenado. Para hallar las intersecciones en x, hacemos y = 0 y obtenemos:
2x2=18 o x= ±3
A fin de hallar lasintersecciones en y hacemos x = 0, con lo cual:
9x2=18 o y=±2
Ahora podemos trazar la elipse dado que 2≈ 1.4 < 3, el eje mayorserá x.

Para hallar los focos, hagamos a = 3 y b = 2 y calculamos:
c2=a2-b2=32-(2 )2=7.

Por lo tanto, c=7, y los focos son ±7,0.