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Páginas: 17 (4016 palabras)
Publicado: 8 de enero de 2013
Índice
Introducción 2
3 Aplicaciones de la integral 3
3.1 Áreas 3
3.1.1 Área bajo la gráfica de una función. 4
3.1.2 Área entre las gráficas de funciones. 5
3.2 Longitud de curvas. 6
3.3 Cálculo de volúmenes de sólidos de sólidos de revolución. 8
3.3.1 Rotaciones alrededor de los ejes cartesianos 8
3.3. 2 Rotación paralela al eje de abscisas (eje x) 8
3.3. 3 Rotaciónparalela al eje de ordenadas (Eje y) 8
3.4 Cálculo de centroides. 9
3.5 Otras aplicaciones. 10
4 Series 12
4.1 Definición de serie. 12
4.1.1 Finita. 12
4.1.2 Infinita. 12
4.2 Serie numérica y convergencia Prueba de la razón (criterio de D´Alembert) y Prueba de la raíz (criterio de Cauchy). 13
4.3 Serie de potencias. 15
4.4 Radio de convergencia. 17
4.5 Serie de Taylor. 18
4.6Representación de funciones mediante la serie de Taylor. 19
4.7 Cálculo de Integrales de funciones expresadas como serie de Taylor. 20
Bibliografía 21
Introducción
Mediante el siguiente trabajo daremos a conocer algunos temas de cálculo integral de la unidad tres y cuatro.
Durante el la tercera unidad del temario de cálculo le daremos a conocer lo correspondiente del tema aplicaciones de lasintegrales, en el cual se desarrollara en cuatro subtemas, que ayudara a los alumnos a comprender en donde ,como se puede aplicar los conocimientos ya adquirido de las integrales.
En la unidad 4 hablaremos de series que es un tema nuevo pero que se aplican los conocimientos vistos del cálculo integral.
3 Aplicaciones de la integral
3.1 Áreas
El área es una medida de la extensión deuna superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficial. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo(superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).
Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial. Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacioeuclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.
Ejemplos
1. Calcular el área limitada por la curva y = x2 -5x + 6 y la recta y = 2x.
En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración.
De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola.
3.1.1 Área bajo la gráfica de unafunción.
Sea una función continua en el intervalo , tal que toma solo valores NO negativos en dicho intervalo ( ).
Nos planteamos el siguiente problema: ¿Cómo podemos calcular el área comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones y , la grafica de la función y el eje X?
Esta área es el valor de la integral entre y de y la denotamos por:
Esta integral se trata deuna integral definida. Una integral definida es, por tanto, un número, mientras que una integral indefinida es una familia de funciones (el conjunto de primitivas de la función que se integra).
Veamos una manera de dar una solución aproximada al problema que nos planteábamos (el cálculo de dicha área).
Dividimos el intervalo en intervalos de la misma longitud . Los límites de estosintervalos más pequeños son:
Dónde .
Para construyamos el rectángulo cuya base es el intervalo y cuya altura es de longitud .
Haciendo esto para , terminamos con rectángulos. La suma de sus áreas es una aproximación al área bajo la grafica de que queremos calcular.
En general, cuanto mayor sea mejor aproximación será la suma de las áreas de los rectángulos a ....
Introducción 2
3 Aplicaciones de la integral 3
3.1 Áreas 3
3.1.1 Área bajo la gráfica de una función. 4
3.1.2 Área entre las gráficas de funciones. 5
3.2 Longitud de curvas. 6
3.3 Cálculo de volúmenes de sólidos de sólidos de revolución. 8
3.3.1 Rotaciones alrededor de los ejes cartesianos 8
3.3. 2 Rotación paralela al eje de abscisas (eje x) 8
3.3. 3 Rotaciónparalela al eje de ordenadas (Eje y) 8
3.4 Cálculo de centroides. 9
3.5 Otras aplicaciones. 10
4 Series 12
4.1 Definición de serie. 12
4.1.1 Finita. 12
4.1.2 Infinita. 12
4.2 Serie numérica y convergencia Prueba de la razón (criterio de D´Alembert) y Prueba de la raíz (criterio de Cauchy). 13
4.3 Serie de potencias. 15
4.4 Radio de convergencia. 17
4.5 Serie de Taylor. 18
4.6Representación de funciones mediante la serie de Taylor. 19
4.7 Cálculo de Integrales de funciones expresadas como serie de Taylor. 20
Bibliografía 21
Introducción
Mediante el siguiente trabajo daremos a conocer algunos temas de cálculo integral de la unidad tres y cuatro.
Durante el la tercera unidad del temario de cálculo le daremos a conocer lo correspondiente del tema aplicaciones de lasintegrales, en el cual se desarrollara en cuatro subtemas, que ayudara a los alumnos a comprender en donde ,como se puede aplicar los conocimientos ya adquirido de las integrales.
En la unidad 4 hablaremos de series que es un tema nuevo pero que se aplican los conocimientos vistos del cálculo integral.
3 Aplicaciones de la integral
3.1 Áreas
El área es una medida de la extensión deuna superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficial. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo(superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).
Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial. Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacioeuclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.
Ejemplos
1. Calcular el área limitada por la curva y = x2 -5x + 6 y la recta y = 2x.
En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración.
De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola.
3.1.1 Área bajo la gráfica de unafunción.
Sea una función continua en el intervalo , tal que toma solo valores NO negativos en dicho intervalo ( ).
Nos planteamos el siguiente problema: ¿Cómo podemos calcular el área comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones y , la grafica de la función y el eje X?
Esta área es el valor de la integral entre y de y la denotamos por:
Esta integral se trata deuna integral definida. Una integral definida es, por tanto, un número, mientras que una integral indefinida es una familia de funciones (el conjunto de primitivas de la función que se integra).
Veamos una manera de dar una solución aproximada al problema que nos planteábamos (el cálculo de dicha área).
Dividimos el intervalo en intervalos de la misma longitud . Los límites de estosintervalos más pequeños son:
Dónde .
Para construyamos el rectángulo cuya base es el intervalo y cuya altura es de longitud .
Haciendo esto para , terminamos con rectángulos. La suma de sus áreas es una aproximación al área bajo la grafica de que queremos calcular.
En general, cuanto mayor sea mejor aproximación será la suma de las áreas de los rectángulos a ....
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