Ensamble canónico

Usando el formalismo del ensamblaje can´nico considere un sistemma de N ´tomos los o a cuales tienen un momento magn´tico intrinsico de magnitud µ. El Hamiltoniano en presencia e ⃗ de un campomaagn´tico externo H es: e H (p, q) − µH
N ∑ i=1

cos αi

donde H (p, q) es el hamiltoniano del sistema en ausencia del campo magn´tico externo y αi e ⃗ y el momento magn´tico del i-´simo ´tomo. es el´ngulo entre H a e e a 7.1 El momento magn´tico es: e ( ) 1 M = N µ cothθ − ; θ 7.2 La susceptibilidad por ´tomo es: a µ2 X = KB T ( 1 − cosh2 θ θ2 ) θ= µH KB T

7.3 En altas temperaturas X satisfacela Ley de Curie, es decir X ∼ T −1 . Encuentre la constante de proporcionalidad, la cual es llamada, Constante de Curie.

Soluci´n 7.1 o
Se considera que las part´ ıculas son pr´cticamenteest´ticas por lo que H(p, q) no contiene a a momentos. Existe agitaci´n t´rmica. La energ´ potencial, debida a interacci´n dipolos con o e ıa o campo externo es, en buena aproximaci´n: o H=−
N ∑ i=1

µi · H⃗ ⃗

(1)

H = −µH

N ∑ i=1

cos αi

(2)

El menos asegura menor energ´ para dipolos paralelos a H. La funci´n de partici´n es ıa o o
mag Zn (β)

=

∑
sobre estados posibles

e−βH

=

∑
θi

e

−β(−µH

N ∑ i=1

cos θi )

N ∑∏ θi i=1

β(µH

N ∑ i=1

e

cos θi )

(3)

1

Con suma extendida al conjunto de orientaciones del sistema. Puesto que losdipolos son ∑ ∏ independientes conmutan y . Se define como la funci´n de partici´n para cualquiera de o o los dipolos a Q1 (β) como N ∑ β(µH ∑ cos θi ) i=1 Q1 (β) = e (4)
θ

Luego QN (β) = [Q1 (β)]N N N ∑ β(µH ∑ cos θi )  i=1 = e
θ

(5)

La magnetizaci´n estar´ dada entonces por o ıa ⟩ ⟨N ∑ M≡ µ cos θi
i=1 can´nica o

≡ Permutando ∑ y ∏

N ∑ i=1

∑

(6)
θi

µ cos θi e−βµHθi∑ −βµHθ i θi e

en (3), tomando logaritmo natural y derivando obtenemos
N ∑ ∂ ∑ ∂ ln QN (β) = ln eβµH cos θi ∂H ∂H i=1 θi N ∑ ∑ θ µ cos θi e−βµHθi i = ∑ −βµHθ i θi e i=1

(7)

= βM...