Ensayo

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El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos que se utiliza, normalmente, entrigonometría.

El teorema relaciona un lado de un triángulo conlos otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:

|Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:|
|[pic] |

El teorema y sus aplicaciones 

El teorema del coseno estambién conocido por el nombre de teorema de Pitágoras generalizado, ya que el teorema de Pitágoras es un caso particular: cuando el ángulo [pic] es recto o, dicho de otro modo, cuando [pic], el teoremadel coseno se reduce a:

[pic]

que es precisamente la formulación del teorema de Pitágoras.

[pic]

[pic]

Fig. 3 - Utilización del teorema del coseno: ángulo o lado desconocido.

Elteorema se utiliza en triangulación (ver Fig. 3) para resolver un triángulo, y saber determinar

▪ el tercer lado de un triángulo cuando conocemos un ángulo y los lados adyacentes:
[pic].

▪ losángulos de un triángulo cuando conocemos los tres lados:
[pic].

Estas fórmulas son difíciles de aplicar en el caso de mediciones de triángulos muy agudos utlizando métodos simples, es decir, cuandoel lado c es muy pequeño respecto los lados a y b —o su equivalente, cuando el ángulo γ es muy pequeño.

Existe un corolario del teorema del coseno para el caso de dos triángulos semejantes ABC yA'B'C'

[pic].

Demostraciones

Por desglose de áreas

[pic]

[pic]

Fig. 4a - Demostración del teorema del coseno por desglose de áreas, cuando el ángulo es agudo.

Un cierto número de lademostraciones del teorema hacen intervenir un cálculo de áreas. Conviene en efecto remarcar que

▪ a², b², c² son las áreas de los cuadrados de lados respectivos a, b, c.
▪ ab cos(γ) es el...
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