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Solucionario primer capitulo

1.

2.

3.
4.

5.

6.

d2
dt 2

d
dt

4

d3y
dx 3

y

D .Y

4

3

dy
dx
3

10. cos x y
3

2

4

y4

Es de 2º orden y 4º grado
Es de 1º orden y 3º grado

Respuesta:

d3ydx 3

dy
dx
y

Es de 3º orden y 1º grado

4

x7 y

cos x

Respuesta:Es de 2º orden y 3º grado

Respuesta:

0

sen x y

Por: CALIXTO CARMEN

Es de 1º orden y 1º grado

Respuesta:

0

2

d2y
dx 2
y

Es de 2º orden y 1º grado

Respuesta:

y

3x 2 1

d2y
dx 2

Es de 3º orden y 4º grado

Respuesta:

0

2

dy
dx

y

x2

d2y
dx 2

9. x yRespuesta:

Respuesta:

y

y cos x

d2y
dx 2

Es de 2º orden y 1º grado

5

d2y
dx 2
dy
dx

Respuesta:

0

c

d 2 y dy
.
dx 2 dx

7. x 4
8.

R

4

1

Y ARIAS RICALDI

Es de 2º orden y 3º grado

Respuesta:

Es de 2º orden y 2º grado

INGENIERÍA DE SISTEMAS

Verificar que la función y
x

dy
dx

sen t
dt , satisface a la ecuación diferencialt

x

x

0

y x sen x

Sea
sen t
dt
0
t
x sen t
x sen t
sen x
y'
dt x
dt sen x
0
0
t
x
t
x sen t
x sen t
Entonces : xy ' x
dt sen x
x
dt
0
0
t
t
y

x

x

x sen x

y

xy '

xy x sen x Satisface a la ecuación diferencial
xy ' xy x sen x

Comprobar que la función y
dy
dx

ex

y

x

x

ex

0

2

et dt ce x , satisface a la ecuacióndiferencial
2

Sea
y

x

ex

y' e
y' y
y' y

2

et dt ce x

0
x

x
0

2

et dt e x .e x

ex
e

x
0

2

ce x

2

et dt ce x

ex

ex
x2

x
0

ex

2

et dt ce x
x
0

ex

x2

2

et dt ce x

x x2

Dada la función H a

ecuación diferencial H '' a

Por: CALIXTO CARMEN

y' y
1
1

cos atdt
1 t2
1
H' a
a

Y ARIAS RICALDI

,a

ex

x2

0, probar que H(a) satisface a la

H a

0

INGENIERÍA DE SISTEMAS

1

H a

cos atdt

1 t2
Cambio de variable.
t sen
dt cos d
1 cos a sen
.cos d
H a
1
cos
1

1

H a

1
1

H a

1

1

cos a sen

1
1

cos a sen

du

dv cos t sen

1
1
1

cos d

cos a sen

cos 2 d

cos a sen

cos 2 d

Reemplazando (ii) en (i):
1
H a
H aH a
a
1
H a
H a H a
a

v

1

d

sen a sen

sen d
a

1

y ' 1 x2 y2

sen d
sen a sen

a
1 sen a sen
sen d
1
a

1

sen a sen

sen d

1

a

1

1

sen a sen

sen d
a

0

0......qq.dd .

arcsen xy , satisface a la ecuación diferencial

Sea
y
y'

arcsen xy
xy ' y
1 x2 y 2
y ' 1 x2 y 2

xy ' y

...(i )

cos .sen a sen
1
1
a
1 sen asen
sen d
...(i )
1
a

Verificar que la función y
xy ' y

. 1 sen 2

cos 2 d

cos

1

d

cos a sen .sen 2 d

cos a sen

u

1

sen a sen .sen d

Entonces:
1
H a
H a H a
a
Integrado por partes:
1

1

xy ' y

y ' 1 x2 y 2
xy ' y

Por: CALIXTO CARMEN

Y ARIAS RICALDI

y ' 1 x2 y2

INGENIERÍA DE SISTEMAS

Comprobar que la función x
2

y

xy ' ysen x

y sen t 2 dt , satisface a la ecuación diferencial
x

0

2

Derivando:
x

1

y

y

sen t 2 dt

xy

0

y sen x 2

y 2 sen x 2 Satisface a la ecuación diferencial
y

Comprobar que la función y

c1e x

diferencial x sen x. y '' x cos x. y ' y cos x

c2 e 2 x

C1 x C2 x

x
0

0

sen t
dt , satisface a la ecuación
t

Sea
sen t
dt
t
x sen tsen x
y ' C1 C2
dt C2 x
0
t
x
sen x
y '' C2
C2 cos x
x
y

C1 x C2 x

x

0

x sen x. y '' x cos x. y ' y cos x

C1 C2

x sen x C2

x
0

sen t
dt C2 sen x
t

sen x
C2 cos x
x

x cos x C1 C2
x sen x. y '' x cos x. y ' y cos x

0

x
0

sen t
dt C2 sen x
t

por

x 2 y ''

x
0

sen t
dt
t

Si satisface a la ecuacion diferencial

x sen x. y '' x...