Esferzo- Deformacion

Tema2 Ejercicios
2.1.-Se ha colocado una roseta a 45° ( ε k = 50 ⋅10−6 , ε L = 30 ⋅10−6 , ε M = −20 ⋅10−6 ) sobre
la superficie de un material ( E = 2 ⋅106 kg / cm 2 y υ = 0.3 ), si el estado de esfuerzos que
producen las deformaciones es plano. Se pide:
♦Estado de deformación.
♦Círculo de Mohr.
♦Deformaciones principales y direcciones principales.
♦Estado de esfuerzos.
♦Círculo de Mohr.♦Esfuerzos principales y direcciones principales.

M
L

45°
45°

K

Figura 2.1.-Roseta de 45°.
Respuesta:
Primero:Cálculo de la deformación tangencial a través de la ecuación de
transformación para deformaciones longitudinales, esto es:

γ
 ε +ε   ε −ε 
ε L =  x y  +  x y  ⋅ cos 2θ + xy ⋅ sen2θ
2
 2  2 
si:

εK = εx

εM = ε y
2θ = 90
la ecuación nos lleva aγ xy = 2ε L − ( ε x + ε y )
γ xy =  2 ( 30 ) − ( 50 − 20 )  ⋅10−6 = 30 ⋅10−6


Segundo:Representación del elemento deformado.

y

y

γxy/2

dy+εy·dy

dy

γxy/2

x

dx

x
dx+εx·dx

Figura 2.2.-Deformación en dirección de x e y.
Tercero: Por tratarse de un estado plano de esfuerzo, debemos determinar la
componente de deformación en dirección z, la cual corresponde auno de las
deformaciones principales. Para ello utilizamos las ecuaciones constitutivas, tal como se
demuestra a continuación:

σz = 0 =

υ
E

⋅ ε z +
⋅ (ε x + ε y + ε z )
1+υ 
1 − 2 ⋅υ

εz = −

υ
⋅ (ε + ε )
(1 − υ ) x y

 0.3

⋅ ( 50 − 20 )  ⋅10−6
εz = − 
 ( 0.7 )

ε z = ε p 3 = −12.86 ⋅10−6

Cuarto: Dibujamos el círculo de Mohr.
γ/2 (10 -6 )

γmáx/238,08

Y(-20, 15 )

εc
εp2

εp3

ε(10-6 )

εp1

23°

X(50, 15 )

15

23,08

53,08

Figura 2.3.-Círculo de Mohr de deformaciones.
Quinto:Representación del elemento deformado en dirección p1.

p2 y

p2 y

p1
x

dp2

p1

11,5°

dp2+εp2·dp2

dp1

x

dp1+εp1·dp1

(a)

(b)

Figura 2.4.-Direcciones principales de deformaciones.
Sexto:Representacióndel elemento deformado en dirección de la deformación
tangencial máxima.
n

n
t

45°

dt

dn

p1
x

45°

dn+εc·dn

38,1°

38,1°

p1

11,5°

x

dt+εc·dt

(b)

(a)
Figura 2.5.-Cortante máximo

11,5°

11,5°

Séptimo:Cálculo del estado plano de esfuerzos: para ello utilizamos las ecuaciones
constitutivas, tal como se muestra:
σx =
σx =

2 ⋅ 10 6
1.3

()

υ
E

ε x + 1 − 2 ⋅ υ ⋅ ε x + ε y + ε z 
1+ υ 


(

)

0.3


⋅ 50 ⋅ 10 − 6 +
⋅ 50 ⋅ 10 − 6 − 20 ⋅ 10 − 6 − 12.86 ⋅ 10 − 6 
0.4


σ x = 96.7 kg / cm 2
σy =

σy =

2 ⋅ 10 6
1.3

(

)

E
υ

ε y + 1 − 2 ⋅ υ ⋅ ε x + ε y + ε z 
1+ υ 


(

)

0.3


⋅ − 20 ⋅ 10 − 6 +
⋅ 50 ⋅ 10 − 6 − 20 ⋅ 10 − 6 − 12.86 ⋅ 10 − 6 
0.4


σ y =−10.99 kg / cm 2
τ xy =
τ xy =

E
⋅ γ xy
2 ⋅ (1 + υ)

(

2 ⋅ 10 6
⋅ 30 ⋅ 10 − 6
2 ⋅ (1 + 0.3)

)

τ xy = 23.08 kg / cm 2
Octavo:Representamos el punto con las direcciones de los vectores esfuerzos y el
círculo de Mohr para esfuerzos.

y

τ

σy
τ

τmáx

y

τ
σx

y

σx
τ

y

x
τ

y

58,54

Y(-10,9; 23,08 )

σc
σp2

σp3

23°

σp1

σ

X(96,7;23,08 )

y

(a)

42,9
15,64

101,44

(b)
Figura 2.6.-

Noveno:Representación del punto en las direcciones de esfuerzos principales y en la
dirección de esfuerzo cortante máximo.

p2

σp2

τmáx σc

σc τmáx

σp1

45°
p1

p1

σp1

11,5°
x

σc

τmáx

σp2

τmáx

σc

11,5°
x

(b)
(a)
Figura 2.7.-

2.2.- En las figuras que se muestran a continuación,se representan las componentes de
los esfuerzos sobre dos planos que pasan por el punto más critico de un sólido, se puede
observar que sobre el plano x1 la componente tangencial del esfuerzo coincide con el
valor máximo de esfuerzo cortante en el punto, mientras que sobre el plano x2 solo se
conoce el valor de la componente normal.

y

y

σx2 = -14.75 MPa

x2
10° x

x
(a)...