Esfuerzos Mecánica De Sólidos

Tensor de esfuerzos

Primero tenemos que definir la orientación de una superficie Sρ que se puede caracterizar con un vector nρ normal a esta superficie:

En esta superficie de normal nρ, vamos a aplicar una fuerza Fρ.
Definimos el tensor de esfuerzos σ como el tensor:

[pic]
[pic]

Esta notación no significa que el vector Fρ es paralelo al vector nρ porque hay la presencia del tensorde esfuerzo σ que actúa sobre el vector nρ y que cambia su dirección. A este tensor de esfuerzos se puede definir una aplicación linear “a” tal que:

[pic]

donde (uρ,vρ,wρ) es la base en la cual esta definido el tensor de esfuerzos.

Tomemos un sistema de referencia (x,y,z):

En este sistema, las componentes de Fρ son:

[pic]

(i puede ser igual a x, y o z. Igualmente, j puede serigual a x, y o z). Los índices repetidos significan que se hace una sumatoria sobre este índice. Por ejemplo:

[pic]

Este tensor de esfuerzos ijσσ= tiene dos índices. El primer índice i es relacionado con la dirección de la fuerza, el segundo índice j es relacionado con la orientación de la superficie.

σ = σ x τxy τ xz
simetrica σy τyzσz

ley de hooke:

σ = Ɛ E
Ɛ: Epsilon
E: Deformacion unitaria o modulo de elasticidad.

La deformación es el cambio en el tamaño o forma de un cuerpo debido a esfuerzos internos producidos por una o más fuerzas aplicadas sobre el mismo o la ocurrencia de dilatación térmica.

Ɛ= δ / ℓDeformacion Total.

δ

P

Cuando en una prueba de carga uniaxial, una probeta como la de la figura 1 se somete a una fuerza creciente P, ocurre un cambio de longitud, como la que se puede medir en el cambio de la distancia entre los puntos A y B en la misma, (conocida como longitud de calibración). El alargamiento que se observa, por unidad de longitud es laintensidad de la deformación [pic], que también se denomina deformación lineal unitaria y que se puede escribir como
[pic],
donde [pic] es la longitud de calibración es decir, la medición inicial y [pic] es la longitud observada después de aplicar la carga. [pic] suele ser muy pequeña y es adimensional.
[pic]
Figura 1. Prueba de tensión uniaxial.

Puesto que las deformaciones pueden variar deun punto a otro, las definiciones de deformación deben relacionarse a un elemento infinitesimal.

Considérese primero que se puede idealizar el fenómeno en una sola dirección. Sean los puntos A y B de la figura 2 a una distancia inicial [pic]. Supóngase que el punto A de desplaza al punto A’ y el punto B al punto B’, Si la distancia entre A’ y B’ sigue siendo [pic], se trató tan solo de unatraslación, pero si no es así, aparece además una deformación. Si [pic] es el desplazamiento en la dirección de [pic] y además una función de [pic], es decir, de la posición (nótese que no se considera la variable tiempo), entonces, la deformación lineal unitaria en la dirección de [pic] cuando [pic] se puede definir como
[pic]

Ɛx, Ɛy, Ɛz = Deformacion lineal

Deformacion angularγ

θ

[pic]

Relación poisson

Cuando una barra esta sometida a una carga de tracción simple se produce en ella un aumento de longitud en la dirección de la carga, así como una disminución de las dimensiones laterales perpendiculares a esta. La relación entre la deformación en la dirección lateral y la de ladirección axial se define como relación de Poisson. La representaremos por la letra griega µ. Para la mayoría de los metales esta entre 0.25 y 0.35.

Es la relacion entre la tension normal al esfuerzo que se aplica y la tension paralela a dicho esfuerzo. Es la relacion entre la deformacion transversal y la longitudinal.

ℓo + δℓ >Ɛx

σ = E Ɛ...