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Dada una funci ́on de producci ́on de tipo Cobb-Douglas, es decir, de la forma P (K, L) = A Lα Kβ (donde A, α y β son constantes positivas y α + β = 1), demuestra que:
(a) ∂P = α P (b) ∂P = β P (c)L ∂P + K ∂P = P ∂L L ∂K K ∂L ∂K
7. Calcula los vectores gradientes de las siguientes funciones:
f1(x,y) = xy − x, f2(x,y) = √ 1 , f3(x,y,z) = Ln(−x2 + xyz + z2).
xy − y x2 + y2
8.Calcula las matrices hessianas de las siguientes funciones:
f1(x,y) = 2x3 + y2, f2(x,y) = ex2−y2, f3(x,y,z) = x2 − xy − x2z + 2xyz + y3. 9. Calcula las matrices jacobianas de las siguientes funcionesvectoriales
( yz)
f(x,y) = (exy, 3x−y, x2 +y2), g(x,y,z) = xy+xz, 1+x2 , h(r,α) = (rcos(α), rsen(α)).
10. Consideremos la funci ́on z = √5x+2y, y supongamos que x = x(t) = 4t+7 e y = y(t) = t2 −3t+4.a) Utiliza la regla de la cadena para calcular dz. dt
b) Existe otra forma de calcular dz . Expresando z como funci ́on de t y derivando luego. Hazlo dt
as ́ı y comprueba que obtienes el mismoresultado que antes. c) Calcula dz􏰃􏰃􏰃􏰃 .
dt t=1
11. Sea f la funci ́on real de dos variables definida como f(u,v) = euv, donde las funciones u y v se
expresan como u(x,y) = x+y y v(x,y) = 2x−y.Calcula ∂f y ∂f. ∂x ∂y
12. Sealafunci ́onw=8x2y+7y3+3xz+2,dondex=x(r,s)=3r+s,y=y(r,s)=er−sen(s),
z = z(r, s) = 7r2s + 3r. Calcula las derivadas parciales ∂w , ∂w
y evalu ́alas en el punto
(r, s) =(0, 0).
∂r ∂s
13. Calcula el desarrollo de Taylor de primer orden de las siguientes funciones en torno a los puntos que se indican:
2
a) f(x,y) = x3 − ln(1 + y2) en torno al punto (−1,0),
b)h(x,y) = ea(x+y), para a ∈ IR,a ̸= 0, en torno al punto (0,0).
14. Calcula el desarrollo de Taylor de segundo orden en torno al punto (0,0) de las siguientes funciones:
(a) f(x,y) = x3 −2x2 +3xy2, (b)g(x,y) = √x2 +y2 +1.
15. Calcula el desarrollo de Taylor de segundo orden de la funci ́on f(x,y) = ex+2y en torno al
punto (2,−1) y u ́salo para estimar f(2,2;−0,9).
16. Calcula el desarrollo de...