Espacio de estados

Apuntes del semestre de la materia de Espacio de Estados

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SISO (una entrada y una salida “single input single output”)

Sistema lineal es aquel que cumple con los principios de linealidad y superposición.

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Características del sistema dinámico

- Estabilidad - Memoria

- Causalidad- Invertibilidad

Si el sistema depende de una entrada pasada y/o presente es causal.

Si el sistema depende de una entrada futura es no causal.

Sistema dinámico es aquel contiene elementos activos.

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Un sistema que almacena energía tiene memoria.

Invertibilidad: que sabiendo cual fue la salida del sistema por ende se sabe cual fue su entrada.

Probando la nolinealidad

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Si el sistema cambia de pendiente ó no pasa por el origen o las dos cosas no es lineal.

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Comprobación

x=y 1=1

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y=x+3 1=4

3=6

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-Los sistemas dinámicos comprenden sistemas lineales y no lineales.

-variantes o no variantes en el tiempo.

REPRESENTACIÓNMATEMÁTICA DE LOS SISTEMAS DINÁMICOS

- Por ecuaciones diferenciales -Por su respuesta al impulso

- Por la función de transferencia

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Podemos la ecuación anterior evaluarla en el tiempo

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- La respuesta en impulso es importante por:

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Es como si probáramos la señal para infinidad deseñales.

ESPACIO VECTORIAL

Conjunto de elementos que cumplen con las propiedades de los vectores

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3z+4y+5x

Ortogonalidad: cuando los vectores son independientes entre sí, es decir, no existen las proyecciones de uno sobre otro.

ESPACIO VECTORIAL

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Escalares: son aquellos compuestos de una magnitud y una unidad de medida.

Vectores: son aquelloscompuestos de una magnitud, una unidad de medida, una dirección y un sentido.

MATRICES

Una matriz es una tabla ordenada de escalares aij de la forma
 
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La matriz anterior se denota también por (aij), i =1, ..., m, j =1, ..., n, o simplemente por (aij).
Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas sedenomina matriz m por n, o matriz m × n.  
Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, ...  
Ejemplo:
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donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus
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EL RECIPROCO DE UN VECTOR

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El tamaño es diferente porque el orden importa

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[pic]A.B=a1b1+a2b2+----------+anbn

A y B tiene el mismo número de elementos.

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x1+a12x2+a13x3=b1

0x1+x2+a23x3=b2

0x1+0x2+x3=b3

Producto de la fila columna es:

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REGLAS PARA LA MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

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..y como quedaría AXB, (AB)

AB=a11b11+a12b21+-------+a1nbn1

A−¹ A A−¹=I

Calculo de A−¹

(A│I) (I│ A−¹) A A−¹=I

2x1+4x2+6x3=18

4x1+5x2+6x3=243x1+x2-2x3=4

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A−¹=1/detA [ ]

det A=0 no existe A−¹

det A≠ 0 existe A−¹

; det A =a11a22-a12a21

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Considérese el sistema de n ecuaciones con n incógnitas

ax=b

Ahora suponga que A es invertible entonces

A−¹Ax= A−¹b

Ix= A−¹b

x= A−¹b

Esta es una solución del sistema porque:

Ax=A(A−¹b)=Ib=bA A−¹=I det A ≠0

(A│I) A tiene inversa

Reducción por medio det A=0

De operaciones con renglones

(I│ A−¹) A no tiene una matriz inversa

A−¹A=I

A A−¹=I

A−¹=1/det A │ Adj A│²

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¿Cuál es el determinante de esta matriz?

det A= -110

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¿Cómo se si la matriz A tiene o...