Espacio vectorial

ESPACIO VECTORIAL
ESPACIO VECTORIAL
Se llama espacio vectorial a una terna ((E / ), (K + $ ), ) ) donde: 1) (E / ) es un grupo abeliano. A los elementos del conjunto E se les llama vectores y d se les representa por d d w, ... . El símbolo / es una ley de composición interna u, v, denominada suma de vectores. Por ser grupo abeliano se cumplen las siguientes propiedades: d d d d d I) asociativa(d / d ) /w = d /(d / w ) u v u v ¼ u, v, w c E d d d d d II) existencia de elemento neutro ¼ uc E ½ 0c E : u / 0 = u d al elemento 0 se le denomina elemento neutro de la suma de vectores. d d d d d III) existencia de elemento simétrico ¼ uc E ½(− u ) c E : u /(− u ) = 0 d d al elemento (− u ) se le denomina elemento simétrico de u. d d d d d d IV) conmutativa u/v = v/u ¼ u, vc E (K + $ ) es uncuerpo conmutativo. A los elementos del conjunto K se les llama 2) escalares y se les representa por letras griegas a, b, c, ... . Los símbolos +, $ son leyes de composición internas denominadas suma y producto de escalares. Por ser cuerpo conmutativo se cumplen las siguientes propiedades: a + b  + c = a + b + c V) asociativa de la suma ¼a, b, c c K     VI) existencia de elemento neutro ¼a cK ½0 c K : a + 0 = a VII) existencia de elemento simétrico ¼a c K ½(−a ) c K : a + (−a ) = 0 VIII) conmutativa de la suma a+b = b+a ¼a, b c K a $ b  $ c = a $ b $ c IX) asociativa del producto ¼a, b, c c K     X) existencia de elemento unidad ¼a c K ½1 c K : a $ 1 = a al elemento 1 se le denomina elemento unidad del producto de escalares. XI) existencia de elemento inverso ¼a c K ; a ! 0½(a −1 ) c K : a $ (a −1 ) = 1 XII) conmutativa del producto a$b = b$a ¼a, b c K XIII) distributiva a $ b + c = a $ b + a $ c ¼a, b, c c K   3) El signo ) representa una ley de composición externa de K % E en E que hace corresponder a cada par (a, d ) c K % E un vector d, de forma que podemos escribir d = a )d v v u u . Este producto escalar de a por el vector d posee las propiedades: u d d d dd d XIV) distributiva respecto a / a ) (u / v ) = a )u /a )v ¼a c K y ¼ u, vc E d d  a + b  )d = a )d /b )u XV) distributiva respecto a + u ¼a, b c K y ¼ uc E   u a ) b  ) c = a ) b ) c XVI) asociativa ¼a, b, c c K  d    d d XVII) existencia de elemento neutro ¼ uc E ½1 c K : 1 )u=u al elemento 1 se le denomina elemento neutro de la operación ).

SUBESPACIO VECTORIAL
Si la terna((E / ), (K + $ ), ) ) es un espacio vectorial todo U _ E : ((U / ), (K + $ ), ) ) tenga también estructura de espacio vectorial se denomina subespacio vectorial de E. Para probar que U es un subespacio vectorial solo son necesarias dos propiedades: d d XVIII) / es una ley de composición interna en U : (d / d ) c U u v ¼ u, vc U d d XIX) a )uc U ¼a c K y ¼ uc U Propiedades: d XX) Todo espaciovectorial tiene al menos dos subespacios: 0 y E. XXI) La intersección U 1 3 U 2 de dos subespacios vectoriales U 1 y U 2 es subespacio vectorial. XXII) La unión U 1 4 U 2 de dos subespacios vectoriales U 1 y U 2 no necesariamente es subespacio vectorial.

COMBINACIÓN LINEAL
d d d Dados los vectores u 1 , u 2 , ... , u n de un espacio vectorial E, se llama combinación lineal de estos vectores a todovector d del tipo u d d d d XXIII) a los escalares k 1 , k 2 , ... , k n se les llama u = k 1 )u 1 /k2 )u 2 / ... / k n )u n coeficientes de la combinación lineal.

DEPENDENCIA LINEAL
d d d Dado un conjunto de vectores S = u 1 , u 2 , ... , u n se dice que es un conjunto ligado o linealmente dependiente, si al menos uno de ellos es combinación lineal de los demás.

- 1 @ Agustin BorregoColomer

ESPACIO VECTORIAL
SUBESPACIO ENGENDRADO POR UN CONJUNTO DE VECTORES
d d d Dado un conjunto de vectores S = u 1 , u 2 , ... , u n de un espacio vectorial E se llama subespacio engendrado por dicho sistema y se representa por C(S ) al conjunto formado por todas las combinaciones lineales de los vectores de S. A este último se le denomina conjunto generador del subespacio C(S ). El...