Espacio Vectorial

Espacio Vectorial.
¿Qué es un espacio vectorial?
Es una estructura matemática creada a partir de un conjunto no vacío con una operación suma interna al conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales. A los elementos de un espacio vectorial se les llamará vectores y a los elementos del cuerpo se les llamaráescalares.

Supongamos que tenemos un conjunto donde para y escalares cumplen con las siguientes propiedades:
Propiedad de cerradura
.
.
Propiedad de adición
.
.
contiene al elemento 0 con .
Propiedad de multiplicación por un escalar
.
.
.
Entonces se denomina un espacio vectorial. Podemos decir por lo anterior que en un espacio vectorial intervienen dos conjuntos,vectores y escalares, los segundos como coeficientes de los primeros. Los vectores forman un grupo abeliano con respecto a la adición (la suma es cerrada, asociativa, conmutativa, existe el elemento 0 y los negativos) y los escalares forman un campo con la inclusión del 0 y del 1

Subespacio Vectorial.
Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espaciovectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un subespacio de V.
Un subconjunto no vacio H es un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura. Este teorema demuestra que para probar si H es o no un subespacio de V, es suficiente verificar que
x + y y ax están en H cuando x y y están en H y a es unescalar.
Propiedades de los Subespacios Vectoriales
(1) La intersección de subespacios vectoriales de E , si es subespacio vectorial de E
(E,+,•) es K-ev ∧ { Hi} i ∊ I una familia de S.E.V de E ⇒ ∩ H i es S.E.V de E </b>
->Demostración:
H1 = {(x, y, z) / x + y + z = 0 } ∧ H2 = { ( x, y, z ) / x - y + z = 0 } son S.E.V de R3
H1 ∩ H2 = { (x, y, z) / x + y + z = 0} = { (x, y, z)/ x + z = 0 ∧ y = 0} = {(x, y, z) / x = - z ∧ y = 0}
(2) La unión de subespacios vectoriales de E , no es subespacio vectorial de E
(E,+,•) es K-ev ∧ { Hi } i ∊ I una familia de S.E.V de E ⇒ ∪ Hi no es S.E.V de E. </b>
Demostración:
H1 = { (0,y) / y ∊ R } ∧ H2 = { ( x,0) / x∊R } son S.E.V de R2.
Si (0,1) ∊ H1 también ∊ H1 ∪ H2. Si H 1 ∪ H2 fuera S.E.V la suma seria lci y no lo és.Si (1,0) ∊ H1 también ∊ H1 ∪ H2 (0,1) + (1,0) = (1,1) ∉ H1 ∪ H2.
(3) La suma de subespacios vectoriales (el conjunto suma) es subespacio vectorial de E
(E,+,•) es K-ev ∧ H,G dos S.E.V de E ⇒ H + G es S.E.V de E
->Demostración:
H + G = { v ∊ E / v = h + g tal que h ∊ H ∧ g ∊ G}. Queremos demostrar que H + G ∊ E
Sean:
h + g ∊ H+G;
h´+ g´ ∊ H+G;
α, β ∊ K
α (h + g) + β (h´+ g´) =(α h + β h´) + (α g + β g´) ∊ H+G por el teorema H+G es S.E.V de E
Base de un espacio vectorial

Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.
Propiedades de las bases.
1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible).
2. Además es un conjuntoindependiente maximal dentro de S (lo más grande posible).
3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector.
Ejemplos de bases.
La base canónica (o base natural, o base estándar) deℜ n:
e1 = (1,0,. . . ,0)
e2 = (0,1,. . . ,0)
en = (0,0,. . . ,1)
- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.
- Sonsistema generador de ℜn porque todo vector (a1,a2,. . . ,an)∈ ℜn se puede expresar como combinación lineal de ellos:
(a1,a2,. . . ,an)= a1(1,0,. . . ,0)+ a2(0,1,. . . ,0)+ . . . + an(0,0,. . . ,1)

Otra base de ℜ3 distinta de la canónica: (1,0,0), (1,1,0), (0,2,-3).
- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.
- Son sistema generador de ℜ3 porque cualquier vector...